Η παρούσα εργασία αποτελεί μία μελέτη των κυριότερων μαθηματικών μοντέλων διάχυσης, τα οποία χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν και να ερμηνεύσουν φαινόμενα που απασχολούν την επιστήμη της Βιολογίας. Ιδιαίτερα μελετώνται οι εξισώσεις διάχυσης-αντίδρασης και το μοντέλο του Allan Turing για την μορφογένεση. Πιο συγκεκριμένα η εργασία χωρίζεται σε πέντε κεφάλαια.

Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες, οι οποίες θα βοηθήσουν τον αναγνώστη να προχωρήσει στη μελέτη του κυρίως σώματος της εργασίας.

Το δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνει την παρουσίαση της φυσικής προέλευσης της εξίσωσης διάχυσης από δύο διαφορετικές σκοπιές, μέσω της εφαρμογής των νόμων διατήρησης και από το μοντέλο του τυχαίου περιπάτου. Μελετάται ακόμη η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης αυτής ενώ επιπλέον δίνεται η μαθηματική μοντελοποίηση της διάχυσης σε τρεις διαστάσεις.

Στο τρίτο κεφάλαιο περιέχεται η μελέτη των δυναμικών συστημάτων και δίνονται οι προϋποθέσεις για την ευστάθεια των κρίσιμων σημείων ενός τέτοιου συστήματος. Η ανάλυση αυτή, παρέχει τα εργαλεία για την κατανόηση της δυναμικής εξέλιξης των συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η φυσική προέλευση της εξίσωσης αντίδρασης-διάχυσης καθώς και δύο εξισώσεις αυτής της μορφής, οι οποίες έχουν πολλές εφαρμογές στον τομέα της Μαθηματικής Βιολογίας, η εξίσωση Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov γνωστή ως εξίσωση Fisher-KPP και η εξίσωση Skellam.

Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο αναλύεται το φαινόμενο της αστάθειας λόγω διάχυσης, της λεγόμενης αστάθειας Turing, παρουσιάζονται οι συνθήκες κάτω από τις οποίες ένα σύστημα αντίδρασης-διάχυσης θα παρουσιάσει αυτού του είδους την αστάθεια και αναλύεται ο τρόπος με τον οποίο το φαινόμενο αυτό συνδέεται με τον σχηματισμό μοτίβων. Συγκεκριμένη αναφορά γίνεται στα χωρικά μοτίβα που αναπτύσσονται κατά την εμβρυογένεση. Το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει αρχικά μια ποιοτική ανάλυση του φαινομένου αλλά και μία αριθμητική προσομοίωση, που σχετίζεται με το μοντέλο Gierer-Meinhardt αλλά και το μοντέλο Snakenberg.

This thesis includes a study of the main mathematical models of diffusion, which are used to describe and interpret phenomena that concern the science of Biology. Diffusion-reaction equations and Allan Turing's model of morphogenesis are particularly studied. More specifically, the work is divided into five chapters.

In the first chapter, the basic concepts are presented. This chapter’s goal is to help the reader proceed with the study of the main body of the thesis.

The second chapter includes the presentation of the physical origin of the diffusion equation from two different points of view, through the application of conservation laws and from the random walk model. The fundamental solution of this equation is also being studied, while in addition, the mathematical modeling of the diffusion in three dimensions is given.

The third chapter contains the study of dynamic systems and focuses on the conditions for the stability of the critical points of such a system. This analysis provides the tools for understanding the dynamic evolution of systems of partial differential equations.

The fourth chapter presents the physical origin of the reaction-diffusion equation as well as two equations of this form, which have many applications in the field of Mathematical Biology, the Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation known as the Fisher-KPP equation and the Skellam equation.

In the fifth and last chapter, the phenomenon of instability due to diffusion, the so-called Turing instability, is analyzed, the conditions under which a reaction-diffusion system will exhibit this type of instability are presented and furthermore the way in which this phenomenon is connected to the pattern formation is studied. Specific reference is made to the spatial patterns that develop during embryogenesis. This chapter includes the qualitative analysis of the phenomenon and numerical simulations of the Gierer-Meinhardt model and the Snakenberg model.