Περίληψη

Στην Αναλογιστική επιστήμη για την εκτίμηση των κινδύνων σε ασφαλιστικούς και χρηματοοικονομικούς τομείς ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι κατανομές με βαριά ουρά. Μια από τις ευρέως γνωστές κατανομές που διαθέτουν βαριά ουρά αποτελεί η κατανομή Pareto την οποία παρουσιάζουμε στο πέμπτο κεφάλαιο και κατέχει πρωτεύουσα θέση στην παρούσα διπλωματική εργασία.

Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας κάνουμε μια εισαγωγή στην κατανομή πιθανότητας παρουσιάζονται εισαγωγικές έννοιες σχετικά με την κατανομή πιθανότητας. Η περιγραφή αυτή γίνεται τόσο θεωρητικά όσο και με την παράθεση των ανάλογων μαθηματικών τύπων.

Στα επόμενα κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση συγκεκριμένων κατανομών ενδιαφέροντος μαζί με τις ιδιότητες τους. Το κάθε κεφάλαιο περιλαμβάνει την παρουσίαση της πυκνότητας πιθανότητας  περιλαμβάνει την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, την μέση τιμή, τη διασποράς, τη διάμεσο τις ροπές γραφήματα και αριθμητικά παραδείγματα. Πιο συγκεκριμένα, στο 2ο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την εκθετική κατανομή, στο 3ο την κατανομή Poison, στο 4ο την κατανομή Γάμα, στο 5ο την Pareto στο 6ο την Weibull και το 7ο τις μείξεις εκθετικών μεταβολών.

Στο όγδοο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την βαθμίδα αποτυχίας ή Failure rate/hazard rate. Στην αρχή δίνουμε τον ορισμό και στην συνέχεια υπολογίζουμε τις βαθμίδες αποτυχίας για διάφορες κατανομές. Αυτές είναι η Pareto, η εκθετική και η Γάμα. 

Στο ένατο κεφάλαιο παρουσιάζουμε μεθόδους αξιολόγησης για την προσέγγιση μιας κατανομής από μια άλλη κατανομή. Πρώτα παρουσιάζουμε το ολοκλήρωμα της απόλυτης διαφοράς και στη συνέχεια κάνουμε εφαρμογή στην Pareto και στην μίξη εκθετικών κατανομών. Τέλος παρουσιάζονται τα αντίστοιχα γραφήματα.

Στο δέκατο και κυριότερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την κατανομή ισορροπίας και στη συνέχεια εφαρμόζουμε την μέθοδο αυτή για μια σειρά κατανομών. Αυτές είναι η Pareto η μίξη εκθετικών κατανομών, η Γάμα, η Weibull και η εκθετική. Τέλος, παρουσιάζουμε τα αντίστοιχα γραφήματα των κατανομών ισορροπίας και σχολιάζουμε.

                                                 Abstract

In actuarial science for risk assessment in insurance and financial sectors, heavy tail allocations are of particular interest. One of the widely known distributions that have a heavy tail is the Pareto distribution which we present in the fifth chapter and holds a prominent place in this diploma thesis.

In the first chapter of the thesis, we make an introduction to the probability distribution, introductory concepts about probability distribution are presented. This description is done both theoretically and by listing the corresponding mathematical formulas.

In the following chapters there is a presentation of specific distributions of interest along with their properties. Each chapter includes the presentation of probability density, includes the probability density function, the cumulative distribution function, the mean, the scatter, the median, the moments, graphs and numerical examples. More specifically, in the 2nd chapter we present the exponential distribution, in the 3rd the Poison distribution, in the 4th the gamma distribution, in the 5th the Pareto in the 6th Weibull and the 7th the mixtures of exponential changes.

In the eighth chapter we present the Failure rate/hazard rate. First we define and then calculate the failure steps for various distributions. These are Pareto, Exponential and Gamma. 

In the ninth chapter we present evaluation methods for approximating one distribution from another distribution. First we present the integral of the absolute difference and then we apply to Pareto and the mix of exponential distributions. Finally, the corresponding graphs are presented.

In the tenth and most important chapter we present the equilibrium distribution and then apply this method to a series of distributions. These are Pareto the mix of exponential distributions, Gamma, Weibull and exponential. Finally, we present the corresponding graphs of equilibrium distributions and comment.