Στη παρούσα διπλωματική εργασία ασχολούμαστε με τη μερική διαφορική εξίσωση Schrödinger τόσο στη συνεχή (NLS) όσο και στη διακριτή της μορφή (DNLS). Στα πρώτα Κεφάλαια γίνεται μία εισαγωγή βασικών εννοιών της κβαντομηχανικής, καθώς και εξισώσεων (και ιδιοτήτων αυτών) που διέπουν τα κβαντικά φαινόμενα. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στο συμπύκνωμα Bose-Einstein (BEC) και την εξήγηση του φαινομένου με τη διακριτή εξίσωση Schrödinger} (DNLS). Εξαιτίας των προσεγγιστικών λύσεων του ανωτέρου συστήματος, εισάγουμε το σύστημα Ablowitz-Ladik (AL) (πρόκειται για διαφορετική διακριτοποίηση της εξίσωσης Schrödinger), που παρουσιάζει αναλυτικές λύσεις. Τέλος με την πρόταση ενός θεωρήματος μελετάμε την εγγύτητα των λύσεων (θεωρώντας κοντινές αρχικές συνθήκες των λύσεων και μικρής τάξης μεγέθους αυτών) των δύο συστημάτων για ικανό χρονικό διάστημα.