Στη παρούσα εργασία αρχικά διατυπώνουμε την εικασία του υπερεπιπέδου, η οποία αποτελεί ένα ανοικτό πρόβλημα στην ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία. Ρωτάει αν υπάρχει ένα ομοιόμορφο κάτω φράγμα -ανεξάρτητα της διάστασης του χώρου- για τον όγκο που μπορεί να έχει η τομή ενός κυρτού σώματος Κ όγκου 1, με ένα υπερεπίπεδο που να διέρχεται από το κέντρο βάρους του Κ, αν το υπερεπίπεδο ληφθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιεί τον όγκο του. Έπειτα, αφού παρουσιάσουμε το απαιτούμενο υπόβαθρο από την ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία, αποδεικνύουμε την ισοδυναμία της εικασίας του υπερεπιπέδου με το πρόβλημα της ισοτροπικής σταθεράς, σύμφωνα με την οποία υπάρχει ένα ομοιόμορφο άνω φράγμα για τις ισοτροπικές σταθερές όλων των κυρτών σωμάτων. 

Από τις γνωστότερες μέχρι στιγμής προσεγγίσεις παρουσιάζουμε, αρχικά το άνω φράγμα του Bourgain για τις ισοτροπικές σταθερές και στη συνέχεια διατυπώνουμε τη μεταγενέστερη απόδειξη του Dar. Ακολούθως γενικεύουμε την εικασία σε λογαριθμικά κοίλα μέτρα και αποδεικνύουμε την αναγωγή της γενίκευσης αυτής στην αρχική εικασία. Επιπρόσθετα εκφράζουμε την ανισότητα απόκλισης του Παούρη, λύνουμε την "ισομορφική εικασία του υπερεπιπέδου" και αποδεικνύουμε το πρώτο άνω φράγμα του Klartag για τις ισοτροπικές σταθερές των κυρτών σωμάτων. 

Έπειτα, παρουσιάζουμε την μεγάλη πρόοδο που έλαβε χώρα στο πρόβλημα της ισοτροπικής σταθεράς τα τελευταία χρόνια, αρχικά αποδεικνύοντας το σχεδόν άνω σταθερό φράγμα του Y. Chen για τις ισοτροπικές σταθερές των κυρτών σωμάτων. Τέλος, αποδεικνύουμε ένα μεταγενέστερο άνω φράγμα του Klartag για τις ισοτροπικές σταθερές των κυρτών σωμάτων, το οποίο αποτελεί με τη σειρά του μία περαιτέρω βελτίωση του προηγούμενου φράγματος και με αυτόν τον τρόπο σχεδόν επιλύεται το πρόβλημα. 

In this dissertation we first state the hyperplane conjecture, which is an open problem in asymptotic convex geometry. It asks if there exists a uniform lower bound - regardless of the dimension of the space - for the volume that the intersection of a convex body K of volume 1 with a hyperplane passing through the center of gravity of K, if the hyperplane is taken so as to maximize its volume. Then, after presenting the required background from asymptotic convex geometry, we prove the equivalence of the hyperplane conjecture with the problem of the isotropic constant, according to which there exists a uniform upper bound for the isotropic constants of all convex bodies.

From the best known approaches we first present Bourgain's upper bound for the isotropic constants and then state the later Dar's proof. We then generalize the conjecture to logarithmic concave measures and prove the reduction of this generalization to the original conjecture. In addition, we express Paouri's divergence inequality, then solve the "isomorphic hyperplane conjecture", and prove Klartag's first upper bound for the isotropic constants of convex bodies.

Moreover, we show the great progress that has taken place in the problem of the isotropic constant in recent years, first proving the nearly upper uniform Y. Chen's bound for the isotropic constants of convex bodies. Finally, we prove a later upper Klartag's bound for the isotropic constants of convex bodies, which is a further improvement at the Chen’s bound, and this almost solves the problem.