Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει διπλό σκοπό. Αφενός μεν, τη μελέτη και παρουσίαση των άμεσων θεωρητικών συνεπειών που προκύπτουν με την εισαγωγή και μη γραμμικών όρων του βαθμωτού Ricci [f(R)] στη Lagrangian πυκνότητα που υπεισέρχεται στο ολοκλήρωμα δράσης Einstein-Hilbert για το βαρυτικό πεδίο. Αυτό περιλαμβάνει τη μελέτη και παρουσίαση των τροποιημένων εξισώσεων πεδίου Εinstein που προκύπτουν ως εξισώσεις Euler-Lagrange με στασιμοποίηση της πιο πάνω δράσης, όπως επίσης και των λύσεων των παραπάνω εξισώσεων πεδίου στη βάση των παραδοχών του κοσμολογικού προτύπου του Friedmann. Το δεύτερο σκέλος της εργασίας, περιλαμβάνει τη μελέτη και παρουσίαση των βασικών κοσμολογικών συνεπειών της επέκτασης της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας βάσει των f(R) θεωριών, που αφορούν τόσο το μοντέλο πληθωρισμού κατά τη φάση της εκθετικής διαστολής του σύμπαντος στις πρώτες στιγμές μετά το Βig Bang, όσο και κατά τη μεταγενέστερη φάση της επιταχυνόμενης διαστολής που αποδίδεται στη σκοτεινή ενέργεια. Δίνεται έτσι η δυνατότητα να συζητηθεί και η συμβολή των θεωριών f(R) στην πληρέστερη σχετικιστική περιγραφή του βαρυτικού πεδίου και την παραγωγή βελτιωμένων κοσμολογικών μοντέλων, μέσω και της βιβλιογραφικής μελέτης πάνω στο βαθμό συμφωνίας τους με τα σύγχρονα παρατηρησιακά δεδομένα.

At the current master thesis, are presented the theoretical effects that arise due to the insertion of non linear terms of the Ricci scalar in the Lagrangian density which is the integrand at the Einstein-Hilbert action integral for the gravitational field. This includes the study and presentation of the modified Einstein equations that arise as a special case of the Euler-Lagrange equations within a stationary-action process, as also the presentation of the solutions of the above equations based on the Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) cosmological model. Additionaly, the current master thesis includes the presentation of the basic cosmological effects that arise from a f(R) modification of General Relativity (GR), related to the cosmic inflation at the early stages of universe's evolution, as also during the later accelarating expansion phase of the universe's evolution that is related to dark energy. At the end of the master thesis, is presented a brief discussion on the advantages that a f(R) modification of gravity can give on how to create improved cosmological models that fit even better in the modern obeservational data.