Η Επιστήμη των Μαθηματικών εγκαθιδρύθηκε στα πλαίσια μιας προσπάθειας εξερεύνησης του πώς λειτουργεί η φύση, αλλά και σε μια προσπάθεια αντιμετώπισης πρακτικών δυσκολιών, η επίλυση των οποίων θα διευκόλυνε την καθημερινότητα των ανθρώπων. Παρά το γεγονός πως ο ίδιος προβληματισμός απασχόλησε και άλλους πολιτισμούς, οι πρώτες προσπάθειες εξεύρεσης μεθόδων εντοπίστηκαν στην Αρχαία Ελλάδα. Με άλλα λόγια, σημαντικό ρόλο στην πρόοδο των Μαθηματικών διαδραμάτισαν οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Ωστόσο, παρά τις προσπάθειες των αρχαίων Ελλήνων να δώσουν λύσεις σε μαθηματικά προβλήματα, υπήρχαν ακόμη μερικά παραδείγματα προβλημάτων τα οποία παρέμεναν άλυτα.
Η παρούσα εργασία, αποτελεί μια απόπειρα ενασχόλησης με την ιστορική και μαθηματική θεώρηση των άλυτων προβλημάτων της Αρχαιότητας. Πιο συγκεκριμένα, αυτό που παρουσιάζεται εδώ είναι η ιστορική εξέλιξη τριών μαθηματικών προβλημάτων: ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και οι δακτύλιοι πολυωνύμων. Επίσης αναλύονται οι προσεγγίσεις που έχουν προταθεί για την επίλυσή τους έως και σήμερα. Τα προβλήματα αυτά, εξετάζονται κυρίως με βάση τις απόπειρες Αρχαίων Ελλήνων, αλλά και μεταγενέστερων, ξένων ερευνητών, οι οποίοι ανέπτυξαν τους προβληματισμούς τους σχετικά με την επίλυσή τους, ενώ πέρασαν πολλά χρόνια για να αποδειχθεί τελικά το αδύνατο μίας τέτοιας επίλυσης μόνο με τη χρήση κανόνα και διαβήτη.

The Science of Mathematics has been established through an effort to discover more about how nature works, as well as a means of overcoming practical difficulties, so that people’s everyday life could be improved. Although his matter had appeared to be food for thought amongst other cultures, the first solid attempts to find methodological solutions can be traced back to Ancient Greece. In other words, the ancient Greek mathematicians contributed significantly in the progress of Mathematics. However, despite the efforts of the ancient Greeks to provide solutions to mathematical problems, there were still some examples of problems that remained unsolved.
This assignment is an attempt of historically approaching the mathematical thought process related with the unsolved problems of Antiquity. More specifically, what is presented here is the historical evolution of three mathematical problems: the squaring of the circle, the doubling of the cube, and polynomial rings. Furthermore, the approaches proposed for the resolutions of the above, are being analysed, mainly based on the attempts of Ancient Greeks, as well as of later researchers coming from different nations. They all presented their concerns and suggested potential solutions, while many years went by until the impossibility of reaching to such solutions with the sole usage of a ruler and a compass had been proven.