Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε το φαινόμενο ροής διαμέσου πορώδους υλικού και συγκεκριμένα το πρόβλημα διαρροής του φράγματος, το οποίο αποτελεί μια περίπτωση προβλημάτος ελεύθερου συνόρου. Τα προβλήματα αυτά αποτελούνται από ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις και συνοριακές συνθήκες, στις οποίες μέρος του συνόρου είναι εκ των προτέρων άγνωστο.
Στην εισαγωγή γίνεται μια αναφορά στα προβληματα με ελεύθερο σύνορο, την περιγραφή της κίνησης των ρευστών στο έδαφος καθώς και τους νόμους και τις εξισώσεις που την διέπουν. Επίσης, γίνεται αναφορά στην κλασσική και ασθενή λύση στις ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις .
Στο κύριο μέρος της μελέτης, παρουσιάζεται η κλασσική μοντελοποίηση του φαινομένου διαρροής νερού του απλού ορθογωνίου φράγματος, ο μετασχηματισμός Baiocchi και η μεταβολική μορφή του προβλήματος πορώδους ροής. Ακόμα, παράγουμε μοντέλα στο πρόβλημα για διάφορους τύπους φραγμάτων.
Στο τρίτο κεφάλαιο, ασχολουμαστε με τις αναλυτικές λύσεις των προβλημάτων ελεύθερου συνόρου, τόσο προσεγγιστικές όσο και ακριβείς. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζονται η προσέγγιση του Dupuit και οι εξισώσεις Boussinesq.
Στο επόμενο κεφάλαιο προχωράμε στην αριθμητική επίλυση του προβλήματος ελευθερου συνόρου, γίνεται μια εισαγωγή στις επαναληπτικές μεθόδους επίλυσης γραμμικων συστηματων, όπως την γενική επαναληπτική μέθοδο, τη μέθοδο Jacobi, τη μέθοδο Gauss-Seidel καθώς επίσης τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών.
Στο πέμπτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα αριθμητικά αποτελέσματα από την υλοποίηση του κώδικα Matlab για τις μεθόδους Jacobi και Gauss- Seidel και εξάγονται τα ανάλογα συμπεράσματα για την προσέγγιση της λύσης με τις μεθόδους αυτές.
The aim of this thesis is to study the phenomenon of water flow through porous medium. Specifically the dam leakage problem is investigated, which is a case of a free boundary problem. These problems consist of elliptic partial differential equations and boundary conditions, in which part of the boundary regions is a priori unknown.
In introduction, a reference is made to free boundary problems, the description of movement of fluids in the ground as well as the laws and equations that refer to this movement. Furthermore, reference is made to the classical and weak solution to elliptic partial differential equations.
In the main part of the study, we present the classical modelling of the water seepage problem of the simple rectangular dam, the Baiocchi transformation and the metabolic form of the porous flow. In addition, the problem is modeled for different types of dams.
In the third chapter, we deal with the analytical solutions of free boundary problems, both approximate and exact. More specifically, Dupuit’s approximation and the Boussinesq’s equations are presented.
In the next chapter we proceed to the numerical solution of free boundary problems, an introduction is made to the iterative methods for solving linear systems, such as the general iterative method, the Jacobi method and the Gauss-Seidel method. The finite difference method is presented as well.
In the last chapter, we deduce numerical results from the implementation of the Matlab code for the Jacobi and Gauss-Seidel methods and the corresponding conclusions are drawn for the approach to the solution with these methods.
