ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΟΛΙΚΗΣ ΣΤΡΕΨΗΣ ΓΙΑ ΚΛΕΙΣΤΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ

A GENERALIZATION OF THE TOTAL TORSION THEOREM FOR CLOSED SPHERICAL CURVES (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. ΗΛΙΑΝΑ ΣΤΟΓΙΑΝΝΗ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 23 Σεπτεμβρίου 2023
  5. Ελληνικά
  6. 44
  7. ΑΡΒΑΝΙΤΟΓΕΩΡΓΟΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ
  8. Ματζάκος, Νικόλαος | Ανούσης, Μιχαηλ
  9. ΣΤΡΕΨΗ | ΟΛΙΚΗ ΣΤΡΕΨΗ | ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ | ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ
  10. ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
  11. 4
  12. 8
    • Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει εκείνη η περιοχή της Διαφορικής Γεωμετρίας η οποία αναφέρεται στη μελέτη προβλημάτων που έχουν «ολικό» χαρακτήρα. Οι δύο έννοιες, οι οποίες είναι βασικές για την μελέτη αυτή, είναι οι έννοιες της ολικής καμπυλότητας και της ολικής στρέψης. Εάν και για την έννοια της ολικής καμπυλότητας έχουν γίνει σημαντικές αναφορές σε πολλά ερευνητικά πεδία, η έννοια της ολικής στρέψης δεν σχετίζεται με ενδιαφέροντα αποτελέσματα στην Διαφορική Γεωμετρία. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να παρουσιάσουμε αποτελέσματα, τα οποία θα έχουν σημαντική γεωμετρική αξία. Το πιο σημαντικό ίσως αποτέλεσμα της ολικής στρέψης είναι το θεώρημα ολικής στρέψης, το οποίο αναφέρει ότι κάθε κλειστή καμπύλη στην επιφάνεια της σφαίρας έχει μηδενική ολική στρέψη. Για το θεώρημα αυτό έχουν διατυπωθεί διάφορες γενικεύσεις, στις οποίες θα αναφερθούμε συνοπτικά, ωστόσο θα ασχοληθούμε αναλυτικά με μία από αυτές. Πιο συγκεκριμένα, θα μελετήσουμε την εξής γενίκευση: Θεώρημα. Έστω γ(s),s∈[0,l] μία κλειστή καμπύλη στη σφαίρα, γ(s): [0,l]→S^2, και f μία συνεχής πραγματική συνάρτηση στη σφαίρα S^2. Τότε : ∮〖f(κ)∙τ〗 ds=0, όπου κ η καμπυλότητα και τ η στρέψη της γ. Σημαντική αναφορά για την εργασία αυτή θα αποτελέσει το άρθρο S. Yin-D. Zheng : The curvature and torsion of curves in a surface, J. Geom. 108 (2017) 1085-1090. Τέλος θα παρουσιάσουμε και μία μορφή του αντιστρόφου του, την οποία και θα αποδείξουμε αναλυτικά. Ειδικότερα: Στο Κεφάλαιο 1 θα γίνει μία πρώτη εισαγωγή σε έννοιες της Διαφορικής Γεωμετρίας, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στο κυρίως θέμα. Στο Κεφάλαιο 2 θα αναφερθούμε στις έννοιες της ολικής καμπυλότητας και της ολικής στρέψης καθώς και θα παρουσιάσουμε αναλυτικά το κλασικό θεώρημα ολικής στρέψης . Στο Κεφάλαιο 3 θα παρουσιαστούν θεωρήματα και προτάσεις που συμβάλλουν στη απόδειξη του κεντρικού θεωρήματος της εργασίας. Στο κεφάλαιο 4 θα γίνει η αναφορά στο κεντρικό θεώρημα της εργασίας, η μελέτη αυτού καθώς και του αντιστρόφου του. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 θα γίνει μία συνοπτική παρουσίαση των γενικεύσεων του θεωρήματος ολικής στρέψης και μία σύντομη μελέτη κάποιων από αυτών.
    • Of particular interest is that area of Differential Geometry which refers to the study of problems that have a "total" character. The two concepts that contribute to this study are the concepts of total curvature and total torsion. Although the concept of total curvature has been widely reported in many research fields, the concept of total torsion is not related to interesting results in Differential Geometry. The purpose of this work is to present results, which will have significant geometrical value. Perhaps the most important result of Total Torsion is the Total Torsion Theorem which states that any closed curve on the surface of the sphere has zero total torsion. Perhaps the most important result of total torsion is the total torsion theorem, which states that any closed curve on the surface of the sphere has zero total torsion. Various generalizations have been formulated for this theorem, which we will refer to briefly, however we will deal with one of them in detail. More specifically, we will study the following generalization: Theorem: Let c(s),s∈[0,l] be a closed curve in a sphere, and f be a continuous real-valued function on sphere. Then we have ∮f (κ)τds=0, where κ,τ are the curvature and torsion of c. Finally, we will present a form of its inverse. An important reference will be the article ([7]). Particularly: In Chapter 1 there will be a first introduction to concepts of Differential Geometry, which we will use in the main topic. In Chapter 2 we will refer to the concepts of total curvature and total torsion as well as present in detail the classical total torsion theorem and its results. In Chapter 3 we theorems and propositions will be presented that will contribute to highlighting the Central Theorem of the work. In Chapter 4 reference is made to the central theorem of the work and the study of it as well as its inverse. Finally, in Chapter 5, there will be a brief presentation of the generalizations of the total torsion theorem and a brief study of some of them.
  14. Hellenic Open University
  15. Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές