ΤΡΙΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ SCHUR ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

  1. MSc thesis
  2. ΣΤΡΑΤΗΓΗ, ΚΑΛΛΙΟΠΗ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 24 Σεπτεμβρίου 2022 [2022-09-24]
  5. Ελληνικά
  6. 73
  7. ΜΠΟΥΚΑΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ
  8. ΤΡΙΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ | SCHUR | QR | ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ
  9. 1
  10. 6
  11. περιέχει αλγορίθμους
    • Στον μαθηματικό κλάδο της Γραμμικής ΄Αλγεβρας, η τριγωνοποίηση ή αποσύνθεση Schur, που πήρε το όνομά της από τον Issai Schur, είναι μια αποσύνθεση πίνακα. Δηλώνει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας A είναι ορθογώνια όμοιος με έναν άνω τριγωνικό πίνακα που έχει τις ιδιοτιμές του A στην κύρια διαγώνιο. ΄Ενας τρόπος για την εύρεση ενός τέτοιου πίνακα είναι με την εφαρμογή του αλγορίθμου QR. Στην Αριθμητική Γραμμική ΄Αλγεβρα, ο αλγόριθμος ή επανάληψη QR είναι ένας αλγόριθμος ιδιοτιμών, δηλαδή μια διαδικασία για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα. Ο αλγόριθμος QR αναπτύχθηκε στα τέλη της δεκαετίας του 1950 από τον John G. F. Francis και από τη Vera N. Kublanovskaya, δουλεύοντας ανεξάρτητα. Η βασική ιδέα είναι η εφαρμογή μιας παραγοντοποίησης QR, γράφοντας τον πίνακα ως γινόμενο ενός ορθογώνιου πίνακα και ενός άνω τριγωνικού πίνακα, πολλαπλασιάζοντας τους παράγοντες με την αντίστροφη σειρά και επαναλαμβάνοντας την διαδικασία αυτή. Ο σκοπός αυτής της εργασίας είναι να εκθέσει την βασική θεωρία της τριγωνοποίησης Schur για n × n τετραγωνικούς πίνακες και να περιγράψει την εφαρμογή της με τη βοήθεια του αλγορίθμου QR. Η εργασία απαρτίζεται από πέντε κεφάλαια. Στο 1ο κεφάλαιο παρουσιάζονται βασικές έννοιες της Γραμμικής ΄Αλγεβρας για πίνακες και μπλοκ πίνακες, απαραίτητες για την μελέτη των επόμενων κεφαλαίων. Στο 2ο κεφάλαιο δίνεται η θεωρία για τις ιδιοτιμές-ιδιοδιανύσματα και εξηγείται τι είναι η ομοιότητα πινάκων. Στο 3ο κεφάλαιο γίνεται αναφορά σε ορθομοναδιαίους πίνακες, στην QR παραγοντοποίηση και στην ορθομαναδιαία ομοιότητα. Στο 4ο κεφάλαιο διατυπώνεται και αποδεικνύεται το θεώρημα της τριγονοποίησης Schur όπως και οι συνέπειες του. Τέλος, στο 5ο κεφάλαιο περιγράφεται πως ο αλγόριθμος QR καταλήγει στη μορφή Schur και οι τρόποι βελτίωσείς του.
    • n the mathematical discipline of linear algebra, the Schur triangularization or decomposition, named after Issai Schur, is a matrix decomposition. States that every square matrix A is orthogonally similar to an upper triangular matrix that has the eigenvalues of A on the main diagonal. A way to and such a matrix is by applying the QR algorithm. In numerical linear algebra, the QR algorithm or QR iteration is an eigenvalue algorithm, that is, a procedure to calculate the eigenvalues and eigenvectors of a matrix. The QR algorithm was developed in the late 1950s by John G. F. Francis and by Vera N. Kublanovskaya, working independently. The basic idea is to perform a QR decomposition, write the matrix as a product of an orthogonal matrix and an upper triangular matrix, multiply the factors in the reverse order and repeat this process. The purpose of this paper is to present the basic theory of Schur triangularization for n × n square matrices and to describe its application using the QR algorithm. The thesis comprises of five chapters. Chapter 1 presents basic concepts of linear algebra for matrices and block matrices, necessary for the study of the subsequent chapters. In chapter 2 the theory of eigenvalues-eigenvectors is given and the similarity of matrices is explained. Chapter 3 refers to unitary matrices, QR factorization, and unitary similarity. In chapter 4 the Schur triangularization theorem is formulated and proved, as well as its consequences. Finally, chapter 5 describes how the QR algorithm ends up in the Schur form and how it can be improved.
  13. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.