Η Ιστορία της Ανάλυσης | Τhe History of Analysis | Μαθηματική Ανάλυση | Mathematical Analysis | Ιστορία της Ανάλυσης | History of Analysis | Ιστορία της Ανάλυσης στην Εκπαίδευση | History of Analysis in Education
2
12
28
Περιέχει : πίνακες, διαγράμματα, εικόνες
Δάσιος, Γ. (2020). Κλασματικός Λογισμός Θεωρία και Εφαρμογές. Αθήνα : Εκδόσεις ΕΑΠ.
Στόχος αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι μια σύντομη, περιεκτική και όσο το δυνατόν τεκμηριωμένη παρουσίαση της Ιστορίας της Μαθηματικής Ανάλυσης. Στα πλαίσια αυτά, θα μελετηθούν οι θεμελιώδεις έννοιες και τα σημαντικότερα βήματα που έγιναν από την αρχαιότητα έως σήμερα, μέσα από την ελληνική και ξένη βιβλιογραφία, ώστε τα μεγάλα αυτά μαθηματικά επιτεύγματα να παρουσιαστούν με αυστηρή και επιστημονική γλώσσα, αλλά παράλληλα με τρόπο ευχάριστο και κατανοητό.
Έτσι, επικεντρώνοντας κυρίως στα μαθηματικά και όχι στα βιογραφικά στοιχεία θα παρουσιαστούν οι μεγάλες στιγμές της Ανάλυσης με αφετηρία την Αρχαία Ελλάδα και κατάληξη τη σύγχρονη εποχή. Προκειμένου να διερευνηθούν η προέλευση αλλά και οι δρόμοι που ακολούθησαν οι μεγάλοι μαθηματικοί και να απαντηθεί το σημαντικό ερώτημα: «Τι είναι η Ανάλυση;» θα γίνει ρητή αναφορά στο αντικείμενό της, θα μελετηθούν διεξοδικά οι σημαντικότερες ιδέες και οι έννοιες που αναπτύχθηκαν ανά τους αιώνες, θα διευκρινιστούν οι λόγοι που οδήγησαν στην ανάγκη δημιουργίας της και τέλος θα παρουσιαστούν οι βασικοί της κλάδοι.
Αρχικά, θα εντοπιστούν οι απαρχές της Μαθηματικής Ανάλυσης, θα γίνει περιγραφή της μεθόδου της εξάντλησης, που αποδίδεται στον μεγάλο μαθηματικό Εύδοξο και τον ιδιοφυή Αρχιμήδη και θα επιχειρηθεί να δοθεί μια σαφής και εμπεριστατωμένη απάντηση στο ερώτημα, εάν αυτή η επιστημονική μεγαλοφυία είναι ο άνθρωπος που ανακάλυψε τον ολοκληρωτικό λογισμό. Κατόπιν, θα γίνει αναφορά σε μαθηματικούς του Μεσαίωνα, που έχουν να επιδείξουν σημαντικές ανακαλύψεις πάνω στις δυναμοσειρές και σε άλλα σπουδαία μαθηματικά αντικείμενα.
Θα ακολουθήσει μια σύντομη διερεύνηση για την καθοριστική ιδέα απλούστευσης των συμβόλων στην Άλγεβρα που εμπνεύστηκε ο Γάλλος μαθηματικός François Viète (1540-1603), όπως και για το χρονικό διάστημα που μεσολάβησε μεταξύ του Viète και του Descartes, που οδήγησε στη μετάβαση στον πλήρη αλγεβρικό συμβολισμό, που ήταν απαραίτητος για την αλγοριθμική επίλυση προβλημάτων, ιδέα που άλλωστε χαρακτηρίζει τον απειροστικό λογισμό του 17ου αιώνα. Θα μελετηθεί επίσης η εμφάνιση της αναλυτικής γεωμετρίας των René Descartes και Pierre de Fermat, που έδωσε τη τελική ώθηση για την δημιουργία του απειροστικού λογισμού.
Θα παρουσιαστούν ακολούθως οι πρώτες προσπάθειες κατασκευής εφαπτομένης από τους Fermat-Descartes-Barrow-Roberval-Torricelli με σχήματα και επεξηγήσεις και θα επιδιωχθεί η ανάλυση της ανακάλυψης από τον Newton της διωνυμικής σειράς για τυχαίο πραγματικό εκθέτη (1665), που συνέβαλε καταλυτικά στην καθιέρωση της χρήσης των άπειρων σειρών. Θα διερευνηθούν επίσης οι λόγοι για τους οποίους θεωρούνται οι Newton και Leibniz θεμελιωτές του απειροστικού λογισμού καθώς και οι τεχνικές που ανέπτυξε ο καθένας ξεχωριστά για την εύρεση εφαπτομένης και υπολογισμού εμβαδών.
Θα ακολουθήσει η παρουσίαση του Ελβετού Leonhard Euler, πρωταγωνιστή του 18ου αιώνα, που είναι ίσως ο παραγωγικότερος μαθηματικός όλων των εποχών και τα άπαντα του καταλαμβάνουν 87 ογκώδεις τόμους. Όπως επίσης, θα γίνει μελέτη της Χρυσής Εποχής των Μαθηματικών και ειδικότερα της Ανάλυσης, που είναι ο 19ος αιώνας, αφού κατά την διάρκειά του αναπτύχθηκε περισσότερο από όσο όλα μαζί τα προηγούμενα χρόνια, με πρωταγωνιστές κορυφαία ονόματα Μαθηματικών, όπως οι Gauss- Fourier- Cauchy- Riemann- Weierstrass. Η έρευνα θα συνεχιστεί με την περιγραφή των σημαντικότερων επιτευγμάτων του 20ου αιώνα, λαμβάνοντας υπόψη σχετικές μελέτες, ώστε να παρουσιαστούν ιδιαίτερα σημαντικές έννοιες με μαθηματική συνέπεια και επιστημονική ακρίβεια.
Θα παρουσιαστούν επίσης τρία Μεγάλα Θεωρήματα της Ανάλυσης με τις αποδείξεις τους με την δέουσα προσοχή, που απαιτούν ανάλογα επιστημονικά θέματα. Στο τέλος, θα εξεταστεί ο τρόπος αξιοποίησης της Ιστορίας της Ανάλυσης στην Διδασκαλία των Μαθηματικών και θα διατυπωθούν συγκεκριμένες ιδέες και προτάσεις, που απορρέουν από την πολύχρονη εμπειρία και ενασχόληση του γράφοντος, τηρώντας όμως τις λεπτές ισορροπίες που απαιτούνται για μην αλλοιωθεί το επιστημονικό πνεύμα και παράλληλα να διευκολυνθεί η παιδαγωγική διαδικασία.
The aim of this dissertation is a short, comprehensive and as possible documented presentation of the History of Mathematical Analysis. In this context, the fundamental concepts and the most important steps that have been taken from antiquity until today will be studied, through the Greek and foreign literature, so that these great mathematical achievements be presented in a strict and scientific language, but simultaneously in a pleasant in a pleasant and understandable way.
Thus, focusing mainly on mathematics and not on biographical data, the great moments in Mathematical Analysis will be presented, starting from Ancient Greece and ending in the modern era In order to investigate the origin and the paths followed by the great mathematicians and to answer the important question "What is Analysis?", an explicit reference will be made to its subject, the most important ideas and concepts developed over the centuries will be studied in detail, the reasons that led to the need for its creation will be clarified and finally its main branches will be presented.
First, the beginnings of Mathematical Analysis will be identified, the method of exhaustion, attributed to the great mathematician Eudoxus and the genius Archimedes, will be described and an attempt will be made to give a clear and thorough answer to the question, whether Archimedes, this huge scientific genius, is the man who discovered the integral calculus. Then, there will be a reference to medieval mathematicians, who have to show important discoveries on power series and other important mathematical objects.
This will be followed by a brief investigation into the determined idea of simplification of symbols in Algebra, inspired by the French mathematician François Viète (1540-1603), as well as into the interval between Viète and Descartes, which led to the transition to complete algebraic symbolism, which was necessary for algorithmic problem solving, an idea that characterizes the infinite calculus of the 17th century. It will also be studied the appearance of the analytic geometry of René Descartes and Pierre de Fermat, who gave the final impetus to the creation of infinite calculus.
It will be presented below the first attempts for the Construction of Tangent from Fermat-Descartes-Barrow-Roberval-Torricelli with shapes and explanations, as also Newton's analysis of the discovery of the binomial series for a random real exponent (1665), which contributed to the use of infinite series. The reasons why Newton and Leibniz are considered the founders of infinite calculus will also be explored, as well as the techniques developed by each individual to find tangent and calculate areas.
This will be followed by the presentation of the Swiss Leonhard Euler, protagonist of the 18th century, who is perhaps the most productive mathematician of all time with his collected works to occupy 87 sizeable volumes. Also, there will be a presentation of the Golden Age of Mathematics and especially of Analysis, which is the 19th century, since during this era it was developed more than all the previous years, with prominent names in mathematics, such as Gauss- Fourier- Cauchy- Riemann- Weierstrass. The study will continue with the description of the most important achievements of the 20th century, considering relevant studies, in order to be presented particularly important concepts with mathematical consistency and scientific accuracy.
Afterwards, three Great Theorems of Analysis will be presented with their proofs, with due diligence that require great scientific achievements. In the end, it will be examined the way of utilizing the History of Analysis in the Teaching of Mathematics and specific ideas and suggestions will be formulated, as a result from the writer's long experience and relevant occupation, keeping the delicate balances required to maintain the scientific spirit and at the same time to facilitate the pedagogical process.
Η Ιστορία της Ανάλυσης