Τα Θεμελιώδη Θεωρήματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης

"The Fundamental Theorems of Functional Analysis" (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Δάρας, Κωνσταντίνος
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 15 Μαίου 2022 [2022-05-15]
  5. Ελληνικά
  6. 158
  7. Μπούκας, Ανδρέας
  8. Μπούκας, Ανδρέας | Παπαδόπουλος, Βασίλειος
  9. Hahn-Banach | Ομοιόμορφο φράγμα | Ανοικτή απεικόνιση | Κλειστό γράφημα
  10. 7
  11. 8
  12. 0
    • Η εργασία χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο Πρώτο μέρος θα αποδείξουμε τα θεωρήματα Hahn-Banach σε τυχαίο πραγματικό διανυσματικό χώρο, κάνοντας χρήση της πληρότητας των πραγματικών αριθμών και του λήμματος Zorn. Καθοριστικό ρόλο στο μέρος αυτό παίζουν τα Κυρτά υποσύνολα διανυσματικού χώρου, καθώς και τα Υπερεπίπεδα. Γι’ αυτό στις πρώτες παραγράφους θα ορίσουμε και θα μελετήσουμε με λεπτομέρειες τις έννοιες αυτές. Επίσης, χρησιμοποιώντας την διανυσματική δομή, θα ορίσουμε μια ειδική τοπολογία, ώστε να διατυπώνουμε και να αποδεικνύουμε προτάσεις, κάνοντας χρήση τοπολογικών εννοιών. (Ανοικτά σύνολα, εσωτερικό σημεία, … ) Στο Δεύτερο μέρος θα αποδείξουμε τα υπόλοιπα θεωρήματα του τίτλου. Το περιβάλλον αυτών των θεωρημάτων είναι οι χώροι Banach, δηλαδή πλήρεις χώροι με νόρμα. Θα αποδείξουμε αυτά τα θεωρήματα ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, ώστε να αποτελούν ανεξάρτητες ενότητες και επίσης να φανεί ο καθοριστικός ρόλος της πληρότητας σε καθένα από αυτά. Με παραδείγματα θα δούμε ότι σε μη πλήρεις χώρους τα θεωρήματα αυτά εν γένει αστοχούν.
    • The work is divided into two parts. In Part One we will prove Hahn-Banach theorems in a random real vector space using the completeness of real numbers and the Zorn’s Lemma. The curved subsets of vector space as well as the hyperplane play a decisive role in this part. That is why in the first paragraphs we will define and study in detail these concepts. Also, using the vector structure, we will define a special topology to formulate and prove propositions using topological concepts (open sets, interior points,…) In the second part we will prove the other theorems of the title. The environment of these theorems is the Banach spaces, is complete spaces with norm. We will prove these theorems independently of each other so that they are independent units and also show the decisive role of completeness in each of them. With examples we will see that in incomplete spaces these theorems generally fail.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.