Υπολογιστικές Μέθοδοι στην Κβαντομηχανική

Computational Methods in Quantum Mechanics (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Φραγκάκης, Κυπριανός
  3. Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική (ΠΣΦ)
  4. 24 Σεπτεμβρίου 2022 [2022-09-24]
  5. Ελληνικά
  6. 152
  7. Ζούπας, Ανδρέας
  8. Παπαδόπουλος, Κωνσταντίνος | Σφέτσος, Κωνσταντίνος
  9. Υπολογιστική κβαντομηχανική | Αριθμητικές μέθοδοι
  10. 1
  11. 3
  12. 23
  13. Περιέχει: Εικόνες, σχήματα, πίνακες.
    • Η παρούσα εργασία αναφέρεται στις υπολογιστικές μεθόδους που βρίσκουν εφαρμογή στην κβαντομηχανική. Αποτελείται από τρία κεφάλαια: Στο 1ο κεφάλαιο περιγράφεται η αναγκαιότητα της Yπολογιστικής Φυσικής και εξηγείται ο τρόπος ανάπτυξης αλγορίθμων, για την επίλυση προβλημάτων της Φυσικής. Παρουσιάζονται οι κυριότερες μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί γι’ αυτό το σκοπό και δίνονται παραδείγματα εφαρμογής σε γλώσσα προγραμματισμού Python. Τα αποτελέσματα των διαφόρων αριθμητικών μεθόδων συγκρίνονται μεταξύ τους ή και με την ακριβή-αναλυτική λύση όταν υπάρχει, και εξάγονται συμπεράσματα για την αξιοπιστία κάθε μεθόδου. Στο 2ο κεφάλαιο εστιάζουμε στην επίλυση της εξίσωσης Schrödinger αναπτύσσοντας εφαρμογές αριθμητικής επίλυσης, πάντοτε σε γλώσσα Python, με μερικές από τις σημαντικότερες μεθόδους: Τη μέθοδο Numerov για τον μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της αριθμητικής με την αναλυτική επίλυση. Τη μέθοδο Direct Matrix και τη μέθοδο των μεταβολών με εφαρμογή και των δύο στο απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Επίσης με τη μέθοδο των μεταβολών επιλύεται αριθμητικά το άτομο του υδρογόνου (H) και υπολογίζεται η ιδιοτιμή της ενέργειας της θεμελιώδους κατάστασης καθώς και η ακτινική πυκνότητα πιθανότητας και συγκρίνονται με την αναλυτική λύση. Στο 3ο και τελευταίο κεφάλαιο ασχολούμαστε με το πρόβλημα των πολυηλεκτρονιακών συστημάτων. Αναλύουμε τη μορφή της εξίσωσης Schrödinger για τα συστήματα αυτά και εφαρμόζουμε, με βάση την αρχή των μεταβολών, τη μέθοδο Hartree-Fock για την επίλυση του ατόμου του Ηλίου (He). Συγκρίνουμε το αποτέλεσμα με τις πειραματικές τιμές αλλά και με τις τιμές άλλων μεθόδων που είναι γνωστές. Τέλος στο Παράρτημα παραθέτουμε αναλυτικά τον κώδικα σε γλώσσα Python καθώς και τον απαιτούμενο σχολιασμό-τεκμηρίωση όλων των εφαρμογών που αναπτύχθηκαν για την αριθμητική επίλυση των προβλημάτων που παρουσιάζονται στα τρία κεφάλαια.
    • This thesis, divided in 3 modules (chapters), refers to computational methods finding application on Quantum Mechanics. In module 1, we describe the necessity of Computational Physics along with explaining the way of developing algorithms in order to solve Physics problems. We present the main methods developed for the aforementioned specific purpose, as well as examples of algorithms used in the Python computer programming language. The results of the various numerical methods are compared either among them or with the exact-analytical solving when existed and conclusions are drawn for the reliability of each method. In module 2, we focus on the solution of the Schrödinger equation implementing numerical solving, always in the Python, with some of the most significant methods: The Numerov method for the one-dimensional harmonic oscillator comparing the results between the arithmetical and the analytical solution. The Direct Matrix method and the variational method both being applied on the infinite square well. Besides, the variational method can solve the Hydrogen atom arithmetically and calculate the energy eigenvalue of the ground state as well as the radial probability density, all of them being compared with the analytical solution. In the 3rd and final module, we work on the multi-electron systems problem. We analyze the form of this equation for these systems and apply, based on the variational principle, the Hartree-Fock method for the solving of the He atom. We compare the result both with the experimental values and the values of other known methods. In conclusion, we present the code, analytically, in the Python plus the commenting-documenting argumentation of all the applications developed for the arithmetical solving of the problems presented in the three modules.
  15. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.