Θεωρίες Βαθμίδας στην Κβαντική Φυσική

  1. MSc thesis
  2. Λιάπης, Αναστάσιος
  3. Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική (ΠΣΦ)
  4. 24 Σεπτεμβρίου 2022 [2022-09-24]
  5. Ελληνικά
  6. 179
  7. Παπαδόπουλος, Κωνσταντίνος
  8. Παπαδόπουλος, Κωνσταντίνος | Σφέτσος, Κωνσταντίνος
  9. θεωρίες βαθμίδας / gauge theories | διαγράμματα Feynman / Feynman diagrams | μηχανισμός Higgs / Higgs mechanism | επανακανονικοποίηση / renormalization | συναρτήσεις β / β functions
  10. 2
  11. 10
  12. Περιέχει: διαγράμματα
    • Η ιδέα της τοπικής συμμετρίας βαθμίδας αποδείχθηκε πολύ γόνιμη για τη μοντέρνα Φυσική. Η ιδέα αυτή υποστηρίζει ότι η Λαγκρανζιανή ενός συστήματος πρέπει να είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς τοπικής βαθμίδας. Η συνέπεια αυτής της απαίτησης είναι ότι η Λαγκρανζιανή θα πρέπει να περιλαμβάνει όρους αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων και κάποιου είδους πεδίου δυνάμεων, π.χ. του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Ουσιαστικά δηλαδή, η απαίτηση αυτή γεννάει τα πεδία δυνάμεων. Βέβαια το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και οι νόμοι που το διέπουν ήταν γνωστά πολύ πριν την Κβαντική Φυσική. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για το πεδίο των ισχυρών δυνάμεων π.χ., αφού είναι πολύ δυσκολότερο να γίνουν πειραματικές μετρήσεις σε αποστάσεις της τάξεως των 10^(-15) m. Έτσι, η παραπάνω ιδέα αποτέλεσε πολύτιμο εργαλείο για την εύρεση των νόμων που το διέπουν. Σε αυτή την Εργασία μελετάμε όχι μόνο την ιδέα της τοπικής συμμετρίας βαθμίδας και των συνεπειών της, αλλά και πώς δουλεύουν στην πράξη οι θεωρίες που προκύπτουν από αυτήν, ονομαστικά η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική, η Ηλεκτρασθενής Θεωρία και η Κβαντική Χρωμοδυναμική, με έμφαση στην Κβαντική Ηλεκτροδυναμική. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στην παραπάνω ιδέα, μέσα από την εξίσωση του Schrödinger. Στο κεφάλαιο 2 γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στη μαθηματική έννοια της ομάδας, που μας είναι απαραίτητη. Στα κεφάλαια 3 και 4 εισάγονται τα πεδία Klein-Gordon και Dirac αντίστοιχα, καθώς και η κβάντωσή τους με τη μέθοδο της κανονικής κβάντωσης. Στο κεφάλαιο 5 μελετάται πιο συστηματικά η ιδέα της τοπικής συμμετρίας βαθμίδας. Εδώ μας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα οι συμμετρίες τύπου SU(2) και SU(3). Ένα πρόβλημα με αυτές τις θεωρίες είναι ότι προβλέπουν πως τα κβάντα των πεδίων δυνάμεων δεν έχουν μάζα. Αυτό δημιουργεί πρόβλημα στην περίπτωση των ασθενών δυνάμεων, αφού τα κβάντα τους έχουν μάζα. Στο κεφάλαιο 6 βλέπουμε πώς λύθηκε αυτό το πρόβλημα από το μοντέλο Weinberg-Salam, το οποίο χρησιμοποιεί κατάλληλα τον μηχανισμό Higgs για την αυθόρμητη ρήξη συμμετρίας. Στο κεφάλαιο 7 εισάγονται η μέθοδος των διαταραχών και τα διαγράμματα Feynman με τους αντίστοιχους κανόνες, για τον υπολογισμό των πλατών σκέδασης, στη θεωρία διαταραχών. Στο κεφάλαιο 8 δίνονται κάποιες απλές εφαρμογές τύπου επιπέδου δέντρου (tree-level). Στο 9 ασχολούμαστε με τους υπολογισμούς που περιλαμβάνουν ένα βρόχο και οι οποίοι πάσχουν από απειρισμούς. Ιδιαίτερα, μελετάμε τις διορθώσεις για τη συνάρτηση κορυφής αλληλεπίδρασης, για την αυτοενέργεια του ηλεκτρονίου και για την πόλωση κενού. Στο 10 μελετάμε τη συστηματική θεωρία της επανακανονικοποίησης. Στο τελευταίο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της συνάρτησης β και η εξίσωση Callan-Symanzik που σχετίζεται με αυτή. Εδώ έχουμε εφαρμογή στις μη αβελιανές θεωρίες βαθμίδας και υπολογισμό της συνάρτησης β για τη θεωρία SU(3). Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τις συναρτήσεις β για την Ηλεκτρασθενή Θεωρία. Τέλος, συγκρίνουμε τη θεωρητική πρόβλεψη της τρεχούμενης σταθεράς σύζευξης (running coupling constant) των ισχυρών δυνάμεων, με τα πειραματικά αποτελέσματα.
    • The notion of local gauge symmetry proved to be very fruitful for modern Physics. It asserts that the Lagrangian of a system must be invariant under local gauge transformations. The consequence of this assertion is that the Lagrangian should contain interaction terms between particles and some kind of force field, e.g. electromagnetic field. Essentially, this assertion generates the force fields. Of course the electromagnetic field and the laws that govern it were known long before Quantum Physics. We cannot say the same about the field of strong forces e.g., since it is much more difficult to perform experimental measurements at distances of the order of 10^(-15) m. Thus, the aforementioned idea formed a valuable tool for finding the laws that govern it. In this Thesis we study not only the notion of local gauge symmetry, but also how the theories that result from this, work in practice, namely Quantum Electrodynamics, Electroweak Theory and Quantum Chromodynamics, with emphasis on Quantum Electrodynamics. In the first chapter we give an introduction to the aforementioned idea, by means of Schrödinger equation. In chapter 2 we give a brief introduction to the mathematical concept of group, which is necessary. In chapters 3 and 4 we introduce the Klein-Gordon and Dirac fields respectively, as well as their quantization by the method of canonical quantization. In chapter 5 we study the idea of local gauge symmetry, more systematically. Here, we are especially interested on symmetries of types SU(2) and SU(3). A problem with these theories is that they predict that the field quanta are massless. This constitutes a problem in the case of weak forces, since their quanta have mass. In chapter 6 we see how this problem was solved by the Weinberg-Salam model, which properly uses the Higgs mechanism for symmetry breaking. In chapter 7 we introduce the perturbation method and Feynman diagrams together with the corresponding rules, for the calculation of scattering amplitudes, in perturbation theory. In chapter 8, some simple applications of tree-level type are given. In chapter 9 we work with the calculations that contain one-loop and which suffer from infinities. Specifically, we study the corrections to interaction-vertex function, to electron self-energy and vacuum polarization. In chapter 10 we study the systematic theory of renormalization. In the last chapter we introduce the concept of β function together with the Callan-Symanzic equation that is related to it. Here, we have an application to non-abelian gauge theories and the calculation of β function for SU(3) theory. Next, we calculate the β functions for Electroweak Theory. Lastly, we compare the theoretical prediction of the strong forces running coupling constant, with the experimental results.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.