Μελέτες Θεμελιωδών λύσεων της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας

Studies of fundamental solutions of General Theory of Relativity. (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Αυλίδης, Δημήτριος
  3. Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική (ΠΣΦ)
  4. 24 Σεπτεμβρίου 2022 [2022-09-24]
  5. Ελληνικά
  6. 131
  7. Σφέτσος, Κωνσταντίνος
  8. Σφέτσος, Κωνσταντίνος | Περιβολαρόπουλος, Λέανδρος
  9. Βαρύτητα | gravity | Γεωμετρία | geometry
  10. 2
  11. 1
  12. 20
  13. Υπάρχουν πίνακες, εικόνες, σχήματα.
    • Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η επίλυση της εξίσωσης του Einstein , για χωροχρόνο που υπόκειται σε συγκεκριμένες συμμετρίες και στη συνέχεια η μελέτη και διερεύνηση των συγκεκριμένων λύσεων. Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος της εργασίας γίνεται η παρουσίαση-σκιαγράφηση του εννοιολογικού πλαισίου της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας που εδράζεται στην έννοια του Χωροχρόνου και την Αρχή της συναλλοιώτητας από την οποία απορρέει και το μαθηματικό υπόβαθρο της θεωρίας που είναι η έννοια της Πολλαπλότητας και η Τανυστική ανάλυση. Τα φυσικά μεγέθη περιγράφονται από Τανυστές , «υπακούοντας» στην συναλλοιώτητα, και ο χωροχρόνος ως πολλαπλότητα ενσωματώνει την βαρύτητα ώς καμπύλωση. Η βαρύτητα είναι η γεωμετρία του χωροχρόνου. Το αποτέλεσμα είναι να περιγράφουμε την βαρύτητα με όρους και έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας όπως ο μετρικός τανυστής, τα σύμβολα Christoffel, ο τανυστής του Riemmann, ο τανυστής του Ricci και να περιγράφουμε την κίνηση των υποθεμάτων σαν ελεύθερες κινήσεις πάνω στις γεωδαισιακές καμπύλες του χωροχρόνου. Ο νόμος κίνησης του Newton μετατρέπεται σε μία γεωμετρική εξίσωση εύρεσης γεωδαισιακών καμπυλών.Η γεωμετρία εφάπτεται, συνδέεται με την κλασική φυσική μέσω του Λανγκρασιανού φορμαλισμού και της αρχής του Hamilton σε δύο επίπεδα. Σε πρώτο επίπεδο η γεωμετρική έννοια της γεωδαισιακής καμπύλης είναι η χρονοειδής καμπύλη μεγίστου ιδιοχρόνου που προκύπτει από την αρχή του Hamilton και σε δεύτερο επίπεδο η δράση του Hilbert μέσω της αρχής του Hamilton μας παρέχει τον τρόπο που η μάζα, ενέργεια, πίεση που περιέχονται στον τανυστή Ενέργειας ορμής καμπυλώνει τον χωροχρόνο.Το δεύτερο επίπεδο συνάφειας Γεωμετρίας και κλασικής φυσικής βρίσκει την έκφρασή της στην εξίσωση του Einstein. Στο δεύτερο μέρος ακολουθεί επίλυση της εξίσωσης του Einstein στο κενό ή σε ηλεκτροστατικό πεδίο, για χωροχρόνο που υπόκειται σε συγκεκριμένες συμμετρίες και στη συνέχεια γίνεται μελέτη και διερεύνηση των συγκεκριμένων λύσεων. Αρχικά αντιμετωπίζεται η περίπτωση στατικού χωροχρόνου και σφαιρικής συμμετρίας όπου η ακριβής λύση της εξίσωσης του Einstein είναι η λύση Schwarzschild που χαρακτηρίζεται και μετρική Schwarzschild. Μελετώνται στη συνέχεια οι ιδιότητες του χωροχρόνου και των γεωδαισιακών του. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στον μέγιστο χωροχρόνο Schwarzschild που περιέχει δύο ιδιομορφίες καμπυλότητας , παρελθόντος και μέλλοντος, που περικλύονται από τον ορίζοντα γεγονότων παρελθόντος και μέλλοντος, μορφοποιώντας την έννοια της Μελανής και Λευκής οπής. «Χάρτες» που απεικονίζουν τον μέγιστο χωροχρόνο Schwarzschild είναι το διάγραμμα Kruskal-Szekeres και το διάγραμμα Penrose. Στην ενότητα αυτή περιγράφεται και η Εξίσωση Tolman-Oppenheimer-Volkoff που περιγράφει τον χωροχρόνο στο εσωτερικό ενός σφαιρικά συμμετρικού και μη περιστρεφόμενου Άστρου. Ακολουθεί η εξαγωγή της δεύτερης ακριβούς λύσης της εξίσωσης του Einstein για στατικό χωροχρόνο σφαιρικής συμμετρίας που πηγάζει από μάζα που φέρει ηλεκτρικό φορτίο.Το κενό αντικαθίσταται από ένα στατικό Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Ο τανυστής ενέργειας ορμής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου διαμορφώνει μία νέα μετρική που ονομάζεται μετρική Reissner- Nordström και η αντίστοιχη λύση Λύση Reissner- Nordström. Μελετώνται η ιδιομορφία καμπυλότητας, οι ορίζοντες γεγονότων και τα στατικά όρια της λύσης εισάγοντας την έννοια της μελανής οπής Reissner- Nordström. Η τρίτη ακριβής θεμελιώδης λύση της εξίσωσης του Einstein για κενό χωροχρόνο χρονικά αμετάβλητο αξονικής συμμετρίας που ως πηγή έχει μία περιστρεφόμενη μάζα, είναι η λύση Kerr και η αντίστοιχη Μετρική Kerr η οποία εμφανίζει και το μεγαλύτερο ενδιαφέρον αφού είναι η πιο ρεαλιστική προσέγγιση του εξωτερικού χωροχρόνου ενός περιστρεφόμενου άστρου. Στην ενότητα αυτή ακολουθεί μελέτη των γεωδαισιακών του χωροχρόνου Kerr , της δακτυλοειδούς ιδιομορφίας καμπυλότητας , του ορίζοντα γεγονότων, του στατικού ορίου, της εργόσφαιρας και της Μελανής οπής Kerr. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο μηχανισμός Penrose ο οποίος αναλύεται διεξοδικά. Τέλος σκιαγραφείται η λύση Kerr-Νewman που αποτελεί γενίκευση των τριών παραπάνω λύσεων καθιστώντας κάθε μία από αυτές μία ειδική περίπτωση της Kerr-Νewman. Η τελευταία περιγράφει έναν χρονικά αμετάβλητο χωροχρόνο αξονικής συμμετρίας που πηγάζει από ηλεκτρικά φορτισμένη περιστρεφόμενη μάζα. Βασική επιδίωξη του συγγραφέα,εκτός της κατανόησης και εμβάθυνσης των εννοιών και των θεμελιωδών λύσεων της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, είναι η ανάδειξη της πνευματικής διαύγειας και κομψότητας αυτής της θεωρίας και της αίσθησης του δέους που προκαλεί το σύμπαν αλλά και η δύναμη της ανθρώπινης διάνοιας
    • The purpose of the present paper is Einstein field equation to be solved under certain and specific restrictions and symmetries and the study of these fundamental solutions. The paper consists of two parts. In the first part is presented the conseptual framework of Theory of General Relativity which is based on the principle of covariance and as a result the mathematical backround of the theory which consists of the notions of Manifold and Tensor analysis. The physical quantities are described as tensors, being covariant, and gravity is redefined as the curvature of spacetime. Gravity is the geometry of spacetime. As a result, gravity is described in terms of differential geometry such as metric tensor, Christoffel symbols, Riemann curvature tensor, Ricci tensor and the motion of particles in gravitational field is replaced with a motion along the geodesic curves of spacetime. Newton´s law of motion is converted to a geometric geodesic equation. Geometry “meets” classical physics through Lagrangian formalism and Hamilton´s principle in two levels. In the first level, the geometrical concept of timelike geodesic curve is the maxima of the proper time and is derived by Hamilton´s principle and, in second level, Hilbert-Einstein action through Hamilton´s principle provides the way that mass, energy, pressure , notions included in Energy-stress Tensor, curve spacetime. And that exactly is the Einstein´s field equation. The second part includes the derivation of the fundamental solutions of Einstein´s field equation in vacuum or in electrostatic field, for spacetime of specific symmetries and further analysis of them. The first fundamental solution refers to a static spacetime of spherical symmetry, and is known as Schwarzschild solution or Schwarzschild metric. Subsequently the properties and geodesics of Schwarzschild spacetime are analysed. The Maximally extended Schwarzschild solution is of great interest in the present paper, since it inludes two curvature singularities, future and past one, contained in future and past event horizon, forming a Black Hole and a White Hole respectively. “Charts” of the Maximally extended Schwarzschild solution are the Kruskal-Szekeres diagram and the Penrose diagram. Additionally the spacetime of the interior of a non rotating and spherically symmetric star is described by the Tolman-Oppenheimer-Volkoff equation which is derived from Einstein´s field equation. The second fundamental exact solution of Einstein´s field equation, is related to a static spacetime of spherical symmetry, generated by a electricaly charged mass. The vacuum is replaced by a Electrostatic field. This second fundamental solution is called the Reissner- Nordström solution or the Reissner- Nordström metric.Notions as event horizons,stationary limit surfaces, curvature singularities define the Reissner- Nordström black hole. The third fundamental exact solution of Einstein´s field equation is related to vacuum stationary spacetime of axial symmetry generated by a non charged rotating mass. Its called the Kerr metric or the Kerr solution and is of great interest because is the most realistic simulation of the external spacetime of a rotating star. Significant properies of Kerr spacetime such as ring singularity, event horizons, stationary limit surfaces, ergosphere, Kerr Black Hole are revealed. Penrose process is described and derived analytically due to its exceptional features. At last, the Kerr-Newman Solution is outlined as the generalization of the previous three fundamental solutions. The Kerr-Newman Solution describes a stationary spacetime of axial symmetry due to a rotating charged mass. The author of the present paper, except the understanding of the profound concepts of the fundamental solutions of General Theory of Relativity, intends to inlight the intellectual clarity and elegance of this theory and the sence of magnificence that becomes from the study of Cosmos and also from the power of Human mind.
  15. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.