Εισαγωγή στη στοχαστική ολοκλήρωση με εφαρμογή στην οικονομία

An introduction to stochastic integration with applications to finance (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. ΣΤΑΘΑΤΟΥ, ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 24 Σεπτεμβρίου 2017 [2017-09-24]
  5. Ελληνικά
  6. 139
  7. ΔΑΡΑΣ, ΤΡΥΦΩΝ
  8. στοχαστική | stochastic | ολοκλήρωση | integration
  9. 12
  10. 4
  11. περιέχει: πίνακες, διαγράμματα
  12. Μυλωνάς Ν., « Παράγωγα αξιόγραφα », Εκδόσεις ΕΑΠ, 2001, Πάτρα
    • Οι Στοχαστικές Διαφορικές εξισώσεις (σ.δ.ε.) είναι οι διαφορικές εξισώσεις με όρους στοχαστικές διαδικασίες. Οι σημαντικότερες στοχαστικές διαδικασίες όμως, είναι μη διαφορίσιμες συναρτήσεις (ως προς το χρόνο), με χαρακτηριστική την κίνηση Brown. Για το λόγο αυτό, για την κατανόηση των σ.δ.ε., θα πρέπει να δοθεί μια γενίκευση της έννοιας της παραγώγου και του γνωστού ολοκληρώματος Riemann. Θα πρέπει δηλαδή να γίνει μία εισαγωγή στο λεγόμενο Στοχαστικό Λογισμό και συγκεκριμένα στο ολοκλήρωμα του αλλά και στον τύπο του . Το όνομά τους το πήραν από το δημιουργό του Στοχαστικού Λογισμού, Ιάπωνα Μαθηματικό Kiyosi (1915-2008). Στη διπλωματική αυτή εργασία, αρχικά θεωρείται απαραίτητη η αναφορά σε βασικές έννοιες της θεωρίας Πιθανοτήτων, στις ιδιότητες ανεξαρτησίας τυχαίων μεταβλητών και στις έννοιες της (γενικευμένης) μέσης τιμής και της δεσμευμένης μέσης τιμής. Στη συνέχεια γίνεται εισαγωγή στην έννοια των στοχαστικών διαδικασιών, στη ταξινόμησής τους αλλά και στις στοχαστικές διαδικασίες δεύτερης τάξης και τις ιδιότητες τέτοιων σ.δ.. Συνδυάζοντας όλες τις παραπάνω γνώσεις κατασκευάζεται το ολοκλήρωμα του και αποδεικνύονται διάφορες μορφές του τύπου του . Τέλος η χρήση αυτών των μορφών, είναι που θα βοηθήσει στην επίλυση κάποιων στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Οι σημαντικότερες εφαρμογές των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων είναι σε θέματα οικονομικών, και χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση φαινομένων ή συστημάτων που περιέχουν κάποιου είδους τυχαιότητας. Εδώ δίνονται μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων και περιγράφεται η λύση τους. Τέλος δίνεται ένα από τα βασικά παραδείγματα σ.δ.ε στη οικονομία και πιο συγκεκριμένα περιγράφεται η τιμολόγηση ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος προαίρεσης.
    • Stochastic Differential Equations (s.d.e.) are differential equations using as terms stochastic processes. However, the most important stochastic processes are non-differentiable functions (in terms of time), the most characteristic being Brownian motion. For this reason, for the comprehension of the s.d.e., a generalization of the concept of the derivative and the known Riemann integral must be given. An introduction to the so called Stochastic Calculus, namely the integral and the ’s formula, should be made. Their name was taken by the creator of Stochastic Calculus, Japanese mathematician Kiyosi (1915-2008). In this diploma thesis, it is initially considered necessary to refer to basic concepts of the Probability theory, the properties of independence of random variables and the concepts of the concepts of (generalized) mean value and the conditional expectation. Then, the concept of stochastic processes is introduced, as well as their classification, but also the second order stochastic processes and the properties of such stochastic processes. By combining all the above knowledge, integral is constructed and various forms of ’s formula are demonstrated. Finally, the use of these forms, will help solve some stochastic differential equations. The most important applications of stochastic differential equations are finance and are used to model phenomena or systems that contain some kind of randomness. Here are given some characteristic examples of stochastic differential equations and a description of their solution. Finally, we have one of the key examples of s.d.e. in finance and more specifically, the pricing of a European option is being described.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.