ΜΔΕ Lefever-Lejeune | Ερημοποίηση | PDE Lefever-Lejeune | Μη Γραμμική ΔΕ
14
0
Η παρούσα διπλωματική εργασία μελετά τη δυναμική της διακριτής εξίσωσης Lefever-Lejeune (DLL), μιας ισχυρά μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πλέγματος που εφαρμόζεται ως μαθηματικό μοντέλο για την κατανόηση της εξέλιξης μιας πληθώρας φυσικών φαινομένων. Η εργασία εστιάζει ειδικότερα στη μελέτη της εξέλιξης βιομαζών βλάστησης σε άνυδρες περιοχές.
Αρχικά παρατίθενται βασικές ιδιότητες των χώρων ακολουθιών και των γραμμικών τελεστών που θα αξιοποιηθούν κατα την αναζήτηση ύπαρξης λύσεων της εξίσωσης DLL.
Στη συνέχεια αναφέρονται τα διαφορετικά μοτίβα βλάστησης που παρατηρούνται σε άνυδρες περιοχές και παρουσιάζεται το συνεχές μοντέλο LL που επιχειρεί να περιγράψει το σχηματισμό τους.
Ακολούθως ορίζεται αυστηρά το διακριτό μοντέλο DLL και εφοδιάζεται με αρχικές και συνοριακές συνθήκες.
Προχωρώντας, αποδεικνύεται η ύπαρξη τοπικών λύσεων για την διακριτή εξίσωση και στη συνέχεια γίνεται διερεύνηση των παραμέτρων για την ολική ύπαρξη λύσεων.
Αναγνωρίζονται συνθήκες για τις παραμέτρους του μοντέλου υπό τις οποίες προκύπτει η ευστάθεια της μηδενικής λύσης με φυσική μετάφραση την ερημοποίηση του συστήματος.
Τέλος, αποδεικνύεται η ύπαρξη ολικών φραγμάτων για μη μηδενικές λύσεις ενδεικτικό της πλούσιας δυναμικής του συστήματος.
This dissertation studies the dynamics of the Lefever-Lejeune Discrete Equation (DLL), a strongly nonlinear lattice differential equation applied as a mathematical model for understanding the evolution of a variety of natural phenomena. The work focuses in particular on the study of the evolution of vegetation biomass in arid areas.
First, basic properties of sequence spaces and linear operators that will be used in the search for solutions of the equation DLL are listed.
Subsequently, different vegetation patterns observed in arid areas are being described and the continuous model LL, attempting to describe their formation, is being presented.
Then, the discrete model DLL is strictly defined and it is supplied with initial and boundary conditions.
Going forward, the existence of local solutions for the discrete equation is proved and then the parameters for the total existence of solutions are investigated.
Parametric regimes associated with extinction are being identified. The stability of the zero solution which results to the desertification of the system is proved.
Finally, the proof of the existence of uniform bounds for non-zero solutions indicates the rich dynamics of the system.
Δυναμική της διακριτής εξίσωσης Lefever-Lejeune