Κουατέρνια και πολυώνυμα

Quaternions and polynomials (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Μυραντίδης, Χρήστος
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 26 Σεπτεμβρίου 2021 [2021-09-26]
  5. Ελληνικά
  6. 75
  7. Πoυλάκης, Δημήτριος
  8. Καπετανάκης, Γεώργιος | Παναγιώτης, Βλάμος
  9. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο | Characteristic polynomial | Απομονωμένες ρίζες | Isolated roots | Σφαιρικές ρίζες | Spherical roots | Σύνολο ριζών | Set of roots | Παραγοντοποίηση | Factorization
  10. 32
  11. Περιέχει : πίνακες
    • Η συγκεκριμένη διπλωματική αναφέρεται στα κουατέρνια τα οποία τα ανακάλυψε ο Hamilton και είναι επέκταση των μιγαδικών αριθμών. Το αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη πολυωνύμων πάνω από τα κουατέρνια. Σκοπός είναι η απόδειξη του θεωρήματος παραγοντο-ποίησης για τέτοια πολυώνυμα. Πιο ειδικά, τα συνήθη πολυώνυμα με συντελεστές κουατέρνια στοιχεία δέχονται μόνο απομονωμένες και σφαιρικές ρίζες. Ο τρόπος με τον οποίο το δεί-χνουμε είναι ότι τα πολυώνυμα μπορούν να γραφτούν σαν γινόμενο διώνυμων πολυωνύμων βαθμού ένα και ειδικά πολυώνυμα δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές (χαρακτη-ριστικό πολυώνυμο). Να παρατηρήσουμε ότι ο βαθμός των διώνυμων καθορίζεται, όχι μονα-δικά, από τη γνώση των απομονωμένων ριζών ενώ τα πολυώνυμα δευτέρου βαθμού καθορί-ζονται μοναδικά από τις σφαιρικές ρίζες. Επίσης δείχνουμε ότι το άθροισμα των ριζών όπως αυτές ορίζονται με την πολλαπλότητα τους ισούται με τον βαθμό του πολυωνύμου. Ενώ μερικά από τα αποτελέσματα μπορεί να είναι γνωστά για δακτυλίους με διαίρεση, τα αποτελέσματα για τα κουατέρνια παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, τόσο σε θεωρητικό κομμάτι με τον τρόπο απόδειξης των θεωρημάτων όσο και για τις πρακτικές τους εφαρμογές στην φυσική αλλά και στη σύγχρονη τεχνολογία.
    • The present dissertation studies the Quaternions, which were discovered by Hamilton and is an extension of the complex numbers to R^4. The object of the work is the study of polynomials over Quaternions. The aim is to prove the factorization theorem for such polynomials. Especially the usual polynomials with coefficients from Quaternions accept only isolated and spherical roots. The way we show it is that polynomials can be written as a product of polynomials of degree one and especially polynomials of second degree with real coefficients (characteristic polynomial). Note that the degree of binomials is determined, not uniquely, by the knowledge of the isolated roots while the polynomials of the second degree are uniquely determined by the spherical roots. We also show that the sum of the roots as defined by their multiplicity is equal to the degree of the polynomial. While some of the results are known for Division rings, the results for Quaternions are of particular interest, both theoretically, in terms of how the theorems are proved and in their practical applications in physics and modern technology.
  13. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.