Μελέτη σολιτονικών λύσεων ολοκληρώσιμων διαφορικών εξισώσεων

A study on solitons solutions of integrable differential equations (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Ζερβοπούλου, Μαρία
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 26 Σεπτεμβρίου 2021 [2021-09-26]
  5. Ελληνικά
  6. 74
  7. Καλημέρης, Κωνσταντίνος
  8. Καριώτου, Φωτεινή | Βλάμος, Παναγιώτης
  9. Σολιτόνια | Solitons | Ζεύγος Lax | Lax pair | μετασχηματισμός Bäcklund | Bäcklund transformation | KdV | KP | NLS | sine-Gordon | Hirota
  10. 1
  11. 19
  12. Περιέχει: εικόνες, διαγράμματα
    • Η παρούσα εργασία παρουσιάζει σολιτονικές λύσεις μιας σημαντικής κατηγορίας μη γραμμικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) που ονομάζονται ολοκληρώσιμες. Αφού πρώτα μελετηθεί μια σειρά μεθόδων και τεχνικών για την επίλυση αυτών των ΜΔΕ, στη συνέχεια οι προκύπτουσες σολιτονικές λύσεις απεικονίζονται με τη χρήση του αλγεβρικού πακέτου Mathematica. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στην έννοια του σολιτονίου και των ολοκληρώσιμων ΜΔΕ. Αρχικά παρουσιάζεται μια ιστορική αναδρομή στην έννοια του σολιτονίου και στη συνέχεια κάποιες εφαρμογές των σολιτονίων στη φύση. Εκτός από την Ρευστομηχανική, τον βασικό χώρο της θεωρίας των σολιτονίων, δίνονται παραδείγματα σολιτονίων από τη γήινη ατμόσφαιρα και από την ατμόσφαιρα άλλων πλανητών. Στη συνέχεια περιγράφονται βιολογικά φαινόμενα που βασίζονται σε σολιτονικά μοντέλα και τις εφαρμογές των σολιτονίων για τη μετάδοση πληροφορίας μέσω οπτικών ινών. Τέλος, παρουσιάζονται οι πιο σημαντικές ιδιότητες των ολοκληρώσιμων διαφορικών εξισώσεων εστιάζοντας σε δυο βασικά εργαλεία για την επίλυσή τους: το Ζεύγος Lax και το μετασχηματισμό Bäcklund. Το δεύτερο κεφάλαιο εστιάζει στη μελέτη της εξίσωσης Korteweg de Vries(KdV) και της εξίσωσης sine-Gordon. Αρχικά αναζητήθηκαν λύσεις οδεύοντος κύματος για την εξίσωση KdV, έπειτα μελετήθηκαν ιδιότητες των ολοκληρώσιμων εξισώσεων όπως το ζεύγος Lax και ο μετασχηματισμός Bäcklund μέσω του οποίου υπολογίστηκαν οι λύσεις δύο σολιτονίων της εξίσωσης KdV. Στο δεύτερο μέρος βρέθηκαν οι λύσεις kink και antikink της εξίσωσης sine-Gordon και μελετήθηκαν κάποιες συγκρούσεις μεταξύ τους που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται αναπαράσταση των σολιτονικών λύσεων της εξίσωσης Kadomtsev–Petviashvili (KP), της μονοδιάστατης μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (NLS) και της μη ομογενούς εξίσωσης Hirota. Αρχικά παρουσιάζονται οι αλληλεπιδράσεις σολιτονικών κυμάτων που εμφανίζονται σε ρηχά νερά για την εξίσωση KP με τις αντίστοιχες εικόνες από το φυσικό περιβάλλον. Έπειτα, για την μονοδιάστατη NLS, η οποία μπορεί να μοντελοποιήσει τη δυναμική κυμάτων στον ωκεανό και τη διάδοση παλμών στις οπτικές ίνες, αναπαρίσταται το Ma soliton και το Peregrine soliton. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται λύσεις ακραίων κυμάτων της μη ομογενούς εξίσωσης Hirota με στόχο να αναδειχθεί ότι η δυναμική αυτών των ακραίων κυμάτων μπορεί να ελεγχθεί μεταβάλλοντας τις παραμέτρους από τις οποίες εξαρτάται η διασπορά και το μη γραμμικό προφίλ του κύματος.
    • This thesis presents soliton solutions of an important class of nonlinear Partial Differential Equations (PDEs), the so-called integrable. After studying a series of methods and techniques for solving these PDEs, the resulting soliton solutions are illustrated using Mathematica. The first chapter is an introduction to the concept of soliton and integrable PDEs. First, a historical review on the concept of solitons is presented and then some applications of solitons in nature are given. In addition to fluid mechanics, which is associated with the core of soliton theory, examples of solitons from the Earth's atmosphere and from the atmospheres of other planets are displayed. Furthermore, biological phenomena based on soliton models, as well as the applications of solitons for the transmission of information through optical fibers are discussed. Finally, the most important properties of integrable PDEs are presented, focusing on two efficient solution methods: the Lax Pair and the Bäcklund transformation. The second chapter focuses on the study of the Korteweg de Vries (KdV) equation and the sine-Gordon equation. First, travelling wave solutions were sought for the KdV equation. Next the properties of the integrable equations such as the Lax pair and the Bäcklund transformation were studied, through which the two-soliton solutions of the KdV equation were derived. In the second part the kink and antikink solutions of the sine-Gordon equation were found and some collisions between them that are of particular interest were studied. The third chapter presents the soliton solutions of the Kadomtsev – Petviashvili (KP) equation, the one-dimensional non-linear Schrödinger (NLS) equation and the non-homogeneous Hirota equation. First, the interactions of soliton waves occurring in shallow water for the KP equation, with the corresponding images from the natural environment, are presented. Next, for the one-dimensional NLS, which can model rogue waves in ocean and pulse propagation in optical fibers, the Ma soliton and the Peregrine soliton are represented. Finally, rogue wave solutions of the non-homogeneous Hirota equation are presented; the features of these rogue waves can be controlled by the appropriate choice of the dispersion and the nonlinearity parameters.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.