Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται η ευστάθεια των κυματικών λύσεων μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, όπως της μη γραμμικής εξίσωσης αντίδρασης-διάχυσης, της μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger καθώς και μικρές διαταραχές αυτής.
Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στα γραμμικά και μη γραμμικά κύματα καθώς και στην κυματική εξίσωση στην πραγματική ευθεία. Επίσης εισάγουμε την έννοια του οδεύοντος κύματος και το κατατάσουμε σε επιμέρους κατηγορίες ανάλογα με τις σχέσεις που ικανοποιεί. Έννοιες απαραίτητες για τη συνέχεια της εκπόνησης της παρούσας εργασίας.
Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε την ευστάθεια μη γραμμικών κυμάτων. Χρησιμοποιούμε ως κανόνα τη λύση οδεύοντος κύματος για τη μη γραμμική ΜΔΕ αντίδρασης-διάχυσης. Οι βασικές πληροφορίες για την ευστάθεια των λύσεων περιέχονται στη γραμμικοποίηση της ΜΔΕ για το οδεύον κύμα. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη θεωρία Sturm-Liouville στις γραμμικοποιημένες εξισώσεις και η θέση του φάσματος είναι αυτή που καθορίζει την ευστάθεια. Τέλος κατασκευάζουμε τη συνάρτηση Evans για τη μη γραμμική ΜΔΕ αντίδρασης-διάχυσης που είναι το εργαλείο που έχει ξεχωρίσει στις έρευνες ευστάθειας μη γραμμικών κυμάτων.
Στο τρίτο κεφάλαιο αρχικά βρίσκουμε τις λύσεις μοναχικών κυμάτων για τη μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS). Στη συνέχεια κατασκευάζουμε τη συνάρτηση Evans για την εξίσωση cubic NLS (CNLS) και βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του γραμμικοποιημένου προβλήματος που διαχωρίζονται από το κύριο φάσμα.
Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας ασχολούμαστε με τις διαταραγμένες εξισώσεις CNLS. Με τη βοήθεια της συνάρτησης Evans βρίσκουμε τις ιδιοτιμές που διαχωρίζονται από το κύριο φάσμα για τις εξισώσεις cubic-quintic NLS (CQNLS), parametrically forced NLS (PFNLS) και parametrically forced cubicquintic NLS (PFCQNLS) και εξετάζουμε την ευστάθεια των μοναχικών κυμάτων
για τις παραπάνω εξισώσεις.
In the present thesis the stability of wave solutions of nonlinear partial differential equations is studied, such as the nonlinear reactiondiffusion equation, the nonlinear Schrödinger equation as well as its small perturbations.
The first chapter introduces linear and nonlinear waves as well as the wave equation in real line. We also introduce the concept of the traveling wave and classify it into sub-categories according to the relationships it satisfies. Concepts necessary for the continuation of the elaboration of the present work.
In the second chapter we study the stability of nonlinear waves. We use as a rule the traveling wave solution for the nonlinear reaction-diffusion PDE. The basic information for the stability of the solutions is contained in the linearization of the PDE for the traveling wave. Then we apply the Sturm-Liouville theory to the linearized equations and the position of the spectrum is what determines the stability. Finally, we construct the Evans function for the nonlinear reaction-diffusion PDE which is the tool that has stood out in nonlinear wave stability investigations. In the third chapter we first find the solitary wave solutions for the nonlinear Schrödinger equation (NLS). Next we construct the Evans function for the cubic NLS (CNLS) equation and find the eigenvalues of the linearized problem that are separated from the base spectrum.
In the fourth and final chapter of the thesis we deal with different perturbations of CNLS equation. Using the Evans function we find the eigenvalues separated from the essential spectrum for the cubic-quintic NLS (CQNLS), parametrically forced NLS (PFNLS) and parametrically forced cubic-quintic NLS (PFCQNLS) equations and concentrate on the stability of solitary waves for the above equations.
Ευστάθεια κυματικών λύσεων, θεωρία και εφαρμογές