ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ MELNIKOV

  1. MSc thesis
  2. ΜΑΝΟΥΣΟΣ, ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 26 September 2021 [2021-09-26]
  5. Ελληνικά
  6. 89
  7. ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ, ΝΙΚΟΛΑΟΣ
  8. ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ , ΝΙΚΟΛΑΟΣ | ΚΑΡΙΩΤΟΥ, ΦΩΤΕΙΝΗ
  9. POINCARE --DUFFING--MELNIKOV
  10. 5
  11. Περιέχει : σχήματα , διαγράμματα , εικόνες .
    • Στην εργασία αυτή θα πραγματοποιηθεί μια εισαγωγή στην μαθηματική θεωρία Melnikov για την αυστηρή απόδειξη της χαοτικής συμπεριφοράς δυναμικών συστημάτων, μέσω της λεγόμενης ομοκλινικής διακλάδωσης. Από τους βασικούς ορισμούς των αναλλοίωτων πολλαπλοτήτων, θα μελετηθούν στην συνέχεια οι έννοιες της απεικόνισης Poincare και της αστάθειας σταθερού της σημείου που αντιστοιχεί σε περιοδική λύση. Στην συνέχεια, θα μελετηθεί η συνάρτηση απόστασης Melnikov μεταξύ των αναλλοίωτων πολλαπλοτήτων του. Η θεωρία θα εφαρμοστεί σε βασικά παραδείγματα συστημάτων και θα παρουσιαστεί σύνδεση τους με άλλες επιστήμες (δίνοντας έμφαση σε εφαρμογές στην νευροεπιστήμη). Βασικοί στόχοι: (1) Θα μελετηθεί η έννοια της απεικόνισης Poincaré, βασική μαθηματική μέθοδος για τον εντοπισμό περιοδικών τροχιών καθώς και η έννοια ευστάθειας περιοδικών τροχιών. (2) Θα μελετηθεί η μέθοδος Melnikov, αυστηρή μαθηματική μέθοδος για την απόδειξη χαοτικής συμπεριφοράς σε μη αυτόνομα δυναμικά συστήματα σε 2 διαστάσεις. (3) Αριθμητικές προσομοιώσεις. Αριθμητική διερεύνηση της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων και διερεύνηση των αναλυτικών αποτελεσμάτων, με άξονα την εξίσωση Duffing και τις εφαρμογές της στην νευροεπιστήμη. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η εισαγωγή σε σύγχρονα ερευνητικά θέματα που αφορούν την ασυμπτωτική συμπεριφορά μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και τις μαθηματικές θεωρίες και τεχνικές αντιμετώπισής τους. Παράλληλα, θα αποτελέσει και εισαγωγή σε σύγχρονες προσεγγίσεις στην θεματολογία αυτή, οι οποίες συνδυάζουν τις αναλυτικές μεθόδους με αριθμητικά πειράματα και την συσχέτισή τους με άλλες επιστήμες. Η μεθοδολογία βασίζεται στην ποιοτική θεωρία διαφορικών εξισώσεων και των μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων
    • This dissertation aims to make an introduction to Melnikov's mathematical theory for the strict proof of the chaotic behavior of dynamic systems, through the so-called homoclinic branching. Based on the basic definitions of invariant manifolds, the concepts of Poincare’s conjecture and the instability of its constant point corresponding to a periodic solution will be studied below. Furthermore there will be a review of the Melnikov’s distance function between its invariant manifolds. The theory will be applied to basic examples of systems and their connection to other sciences will be presented emphasizing on applications in neuroscience. The key objectives are the following: (1) to consider the concept of Poincare’s imaging, a basic mathematical method for detecting periodic orbits, and the concept of periodic orbit stability will. (2) to study the Melnikov method a rigorous mathematical method used for proving chaotic behavior in non-autonomous dynamic systems in 2 dimensions. (3) to present numerical simulations. A numerical research investigation of the asymptotic behavior of the solutions and a research study of the analytical results, focusing on the Duffing equation and its applications in neuroscience. The purpose of this dissertation is to introduce contemporary research topics related to the asymptotic behavior of non-linear differential equations mathematical theories and techniques appropriate for dealing with them. At the same time, it will be an introduction to modern approaches to this topic, which combine analytical methods with numerical experiments and their correlation with other sciences. The methodology is based on the qualitative theory of differential equations and non-linear dynamical systems.
  13. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.