Περίληψη
Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να δώσει μια ολοκληρωμένη περιγραφή της ύλης μέσα από τη μαθηματική θεωρία της γραμμικής ελαστικότητας. Υπάρχουν τρία θεμελιώδη στοιχεία που μας επιτρέπουν να υλοποιήσουμε το στόχο μας. Το σώμα Β που ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε, ο Ευκλείδειος χώρος Ε και το σύστημα των δυνάμεων που αναπτύσσονται σε κάθε σημείο του σώματος. Η αλληλεπίδραση αυτών των τριών στοιχείων μας προσφέρει αξιόπιστα μοντέλα περιγραφής της ύλης. Η διαδικασία που απαιτείται γίνεται αρχικά μέσα από τη διατύπωση φυσικών νόμων όπως ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος ο οποίος εκφράζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας και μας οδηγεί στην αρχή διατήρησης της ορμής. Στη συνέχεια ακολουθεί η διατύπωση καταστατικών εξισώσεων οι οποίες μας δίνουν πληροφορίες για τη σύσταση του υλικού, ώστε ο υπολογισμός των τάσεων να γίνεται με τα στοιχεία της παραμόρφωσης.
Η εργασία πραγματεύεται θεωρήματα ύπαρξης μοναδικότητας λύσης στην γραμμική ελαστικότητα σε δυο περιπτώσεις. Πιο συγκεκριμένα διατυπώνονται και αποδεικνύονται θεωρήματα τόσο στην στατική όσο και στην δυναμική περίπτωση. Καθοριστικό ρόλο σε αυτού του είδους τα προβλήματα έχει η επίδραση της συνθήκης της ισχυρής ελλειπτικότητας καθώς και η εξεύρεση αναγκαίων συνθηκών για την ύπαρξη μοναδικής λύσης. Επίσης, παρουσιάζεται η μεταβολική διατύπωση εξισώσεων και αναδεικνύεται η ύπαρξη όχι μόνο κλασικών αλλά και ασθενών λύσεων.
Η εργασία είναι οργανωμένη σε έξι κεφάλαια. Αρχικά παραθέτονται ορισμένες βασικές μαθηματικές έννοιες, οι οποίες είναι απαραίτητες για τα κεφάλαια που θα ακολουθήσουν. Στοιχεία της θεωρίας των Τανυστών, διάκριση και ταξινόμηση των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, χώροι Συναρτήσεων και Μετρικοί χώροι καθώς και Διαφορικοί Τελεστές αποτελούν ορισμένες από τις χρήσιμές ενότητες του 1ου κεφαλαίου.
Στο 2ο κεφάλαιο παρουσιάζονται θεμελιώδεις έννοιες της γραμμικής ελαστικότητας. Αναλύεται η έννοια του συνεχούς μέσου, διατυπώνονται ορισμοί βασικών διανυσματικών μεγεθών που περιγράφουν το πεδίο μετατοπίσεων όπως η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η μετατόπιση κ.α. και επιπρόσθετα δίνονται στοιχεία των τανυστών τάσης και παραμόρφωσης.
Οι αναγκαίες εξισώσεις που απαιτούνται για το σχηματισμό του προβλήματος Αρχικών – Συνοριακών Τιμών καθώς και ο ορισμός του τανυστή ελαστικότητας (με έμφαση στα ισότροπα υλικά) αποτελούν το κύριο μέρος του τρίτου κεφαλαίου. Επίσης, σε αυτό το κεφάλαιο αναλύεται διεξοδικά η έννοια της ελλειπτικότητας και η επίδραση της στη μοναδικότητα λύσης στις διάφορες περιπτώσεις.
Το 4ο κεφάλαιο πραγματεύεται τα θεωρήματα μονοσήμαντου στη στατική περίπτωση. Αρχικά γίνεται αναφορά στην πρώτη περίοδο θεμελίωσης σημαντικών θεωρημάτων μέσα από τη δουλειά του Kirchhoff και του Neumann και στη συνέχεια δίνεται μια αναλυτική παρουσίαση θεωρημάτων σε προβλήματα τύπου Neumann, Dirichlet και μικτού τύπου τόσο στο ανισότροπο (ομογενές ή μη ομογενές) όσο και στο ισότροπο υλικό. Οι βασικές αρχές ελαχίστου της ελαστοστατικής είναι το βασικό θέμα του επόμενου κεφαλαίου. Η αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας καθώς και η αρχή της ελάχιστης συζυγούς ενέργειας αναφέρονται στην ύπαρξη μοναδικής λύσης στο μικτό πρόβλημα σε συνδυασμό με την μικρότερη δυνατή τιμή της ενέργειας. Επίσης, σε αυτό το κεφάλαιο μελετώνται άλλες βασικές αρχές που εφαρμόζονται σε καταστάσεις που ικανοποιούν όσο το δυνατόν λιγότερους περιορισμούς.
Τέλος, στο 6ο κεφάλαιο αυτής της εργασίας γίνεται παρουσίαση θεωρημάτων μονοσήμαντου στο μικτό πρόβλημα στη δυναμική περίπτωση. Ακόμη, διατυπώνονται θεωρήματα μονοσήμαντου για προβλήματα με ασαφείς συνθήκες αλλά και θεωρήματα που αναδεικνύουν τη σχέση ύπαρξης μοναδικής λύσης τόσο στην στατική όσο στη δυναμική περίπτωση.
Abstract
The aim of this work is to give a comprehensive description of the material through the mathematical theory of linear elasticity. There are three fundamental elements that allow us to fulfill our aim. The body B that we intend to study, the Euclidean space E and the system of forces that develops on every part of the body. The interaction of these three elements offers us reliable models of description of the material. The procedure begins by formulating the first thermodynamic law that lead us to the law of the balance of linear momentum. Then the formulation of constitutive equations gives us information about the components of the material, in order to measure the stress with the data of the deformation.
The thesis deals with uniqueness theorems in linear elasticity in two cases. More specifically, we formulate and prove theorems in elastostatics and in elastodynamics. It is crucial to note that many theorems depend upon the specific condition of strong ellipticity and other necessary conditions. We also present the variational methods and we show the existence not only classical but weak solutions.
The thesis is organized in six chapters. Initially, we introduce some basic mathematical concepts, which are necessary for the chapters that follow. Elements of the theory of Tensors, distinction and classification of Partial Differential Equations, Topological and Metric spaces and Differential Operators are some of the useful prerequisites of the 1st chapter.
Chapter 2 presents fundamental concepts of the linear elasticity. We examine the concept of continuum and we give the definition of some vector fields such as the velocity and the acceleration. Moreover, this chapter introduces the stress tensor and the strain tensor.
The necessary equations required for the formulation of Initial – Boundary Value Problems and the definitions of the elasticity tensor are the main objects of the third chapter. Additionally, we examine extensively the concept of ellipticity and its effect to the uniqueness in different cases.
Chapter 4 studies uniqueness theorems in the static case. Initially, we present theorems of the first historical period. More specifically, we prove the Kirchhoff ̓s and the Nueumann ̓s theorems and then we make an extensively presentation of theorems at three separate cases. We examine the Displacement Boundary Value Problem, the Traction Boundary Problem and the Mixed Boundary Value Problem for the anisotropic (homogeneous or non-homogeneous) and for the isotropic case.
The variational principles of the elastostatics are the main object of the fifth chapter. The principle of minimum potential energy and the principle of minimum complementary energy refer to the existence of unique solution in the Mixed Boundary Value Problem in combination with the smaller amount of energy.
Finally, chapter 6 presents uniqueness theorems in the Mixed Boundary Value Problem for the dynamic case. Moreover, we study non – standard problems, including those with ambiguous conditions and then we examine the connection between existence and uniqueness and we demonstrate that in both linear elastostatics and linear elastodynamics the existence of a classical solution implies uniqueness in a dual problem.
ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΟΥ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ