Η έννοια του ορίου, μια βασική έννοια για τον Απειροστικό Λογισμό, αναφέρεται σαν ένα δύσκολο θέμα για τους μαθητές σε όλο τον κόσμο. Σαν εκπαιδευτικός της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης αντιλαμβάνομαι τις δυσκολίες αυτές όταν διδάσκεται η συγκεκριμένη έννοια. Η παρούσα έρευνα μελετάει προσεκτικά πόσο οι μαθητές κατανοούν την έννοια του ορίου και πως την συνδέουν με την συνέχεια μιας συνάρτησης. Στην παρούσα μελέτη χρησιμοποιήθηκαν οι εκφράσεις ¨εικόνα της έννοιας¨ και ¨ορισμός της έννοιας¨ των Tall and Vinner (1981) ώστε να εξακριβωθούν οι νοητικές εικόνες και οι ερμηνείες του ορισμού του ορίου και της συνέχειας που χρησιμοποιούν οι μαθητές. Καθώς οι νοητικές εικόνες μπορούν να έρθουν σε ύπαρξη μόνο με κατάλληλη αναπαράσταση η παρούσα εργασία μελετά επίσης πώς οι μαθητές αντιδρούν μεταβαίνοντας από μια γραφική αναπαράσταση σε μια άλλη γραφική αναπαράσταση καθώς προσπαθούν να απαντήσουν σε ερωτηματολόγιο που περιείχε γραφικές απεικονίσεις.
Για την παρούσα μελέτη επιλέχθηκαν τμήματα από τρία Γενικά Λύκεια σε αστικό κέντρο, το ένα από τα οποία ήταν Μουσικό σχολείο. Επίσης στην έρευνα συμμετείχε και ένα περιφερειακό Λύκειο. Τα τμήματα ανήκαν στην τρίτη τάξη του Λυκείου και σε μια διδακτική ώρα ζητήθηκε από τους μαθητές να απαντήσουν σε ερωτηματολόγιο έξι θεμάτων.
Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι ο ¨ορισμός της έννοιας¨ των μαθητών για το όριο και την συνέχεια μιας συνάρτησης μπορούν να χωριστούν σε κατηγορίες. Για το όριο: Ορισμός ορίου, Ύπαρξη ορίου, Σχέση ορίου με το πεδίο ορισμού. Για την συνέχεια: Ορισμός συνέχειας, Ύπαρξη συνέχειας, Σχέση με το πεδίο ορισμού.
Με όμοιο τρόπο οι εικόνες των μαθητών κατατάσσονται σε αυτές με δυναμική φύση και σε αυτές με στατική φύση. Οι δυναμικές εικόνες περιλαμβάνουν γραφήματα με ασύμπτωτες ή όρια μη περασμένα. Οι στατικές εικόνες περιλαμβάνουν γραφήματα με συνοριακές τιμές, ή τιμές που πλησιάζουν πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον αποδείχτηκε η σχέση μεταξύ των διαφορετικών γραφικών αναπαραστάσεων και της ¨εικόνας της έννοιας¨ που σχημάτιζαν οι μαθητές καθώς προχωρούσαν στην επίλυση του κάθε ερωτήματος. Παράλληλα επιβεβαιώθηκε η δυσκολία συσχέτισης ανάμεσα σε αλγεβρικούς υπολογισμούς ορίων και υπολογισμούς που σχετίζονται με τις γραφικές αυτές αναπαραστάσεις.
The limit concept, a basic one for the Calculus, is referred as a difficult subject for students all over the world. I realize all the difficulties, as a teacher of secondary education, at the time of teaching this specific concept.
The present research studies carefully the extent to which the students realize the concept of limit and how they connect it to the continuity of function. The expressions “concept image” and “concept definition” by Tall and Vinner (1981) were used to ascertain the mental images and the interpretations of the limit definition and the continuity used by students.
The mental images may exist by the proper representation and the present project studies the way the students react, going from a graphic function to another one during the questionnaire containing graphic visualizations.
Three Senior High Schools of a city centre were chosen for the current study. One of them was a music school. A non-urban area school participated in the research, too. C class students were asked to answer a questionnaire of six inquiries. The research findings showed that “the concept definition” for limit by students and the continuity of function may be divided into categories.
For the limit: Definition of limit, Existence of limit, Relation of limit to the domain of function.
For the continuous function: Definition of continuity, Existence of continuity, Relation to the domain of function.
The students’ images are categorized to ones with dynamic nature and to those with static nature in the same way.
The dynamic images include plots with asymptotic or non-finite limits. The static images include plots with border values or values tending to real numbers. Moreover, the relation between the different graphs of function and the “concept image” formed by students was proved as the students proceeded to the solution of each question.
In parallel, the difficulty of association between algebric calculations of limits and those relating to graphical representations was assured.
Διδασκαλία και μάθηση του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση