Στροφή και κίνηση με χρήση υπερμιγαδικών αριθμών και Mathematica

Rotation and Animation using Quaternions with Mathematica (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Κομπούρης, Αριστείδης
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 27 Σεπτεμβρίου 2020 [2020-09-27]
  5. Ελληνικά
  6. 82
  7. Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας
  8. Υπερμιγαδικοί αριθμοί | Quaternions | Στροφές | Rotations | Συνάρτηση στροφής | Rotation function | Oκτόνια | Octonions | Mετασχηματισμοί | Τransformations
  9. 1
  10. 14
  11. Περιέχει : πίνακες, διαγράμματα, εικόνες
    • Ο σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να παρουσιάσει τους υπερμιγαδικούς αριθμούς, τις ιδιότητες τους αλλά και τις εφαρμογές τους χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Mathematica. Με την βοήθεια αυτού του πολύ ‘ισχυρού’ και ιδιαίτερου προγράμματος θα προσπαθήσουμε να δώσουμε παραδείγματα που θα βοηθήσουν στην κατανόηση των υπερμιγαδικών αριθμών. Ως βασική πηγή χρησιμοποιείται το βιβλίο του Alfred Gray ‘’ Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica’’. Το πρώτο κεφάλαιο ξεκινάει με τους ορθογώνιους πίνακες. Παρουσιάζει τους πίνακες στροφής και τις ιδιότητές τους. Στην συνέχεια, γίνεται μια ιστορική αναδρομή για τον τρόπο ανακάλυψης των υπερμιγαδικών αριθμών από τον William Rowan Hamilton και στο τέλος περιγράφονται οι ιδιότητες τους. Ιδιαίτερη αναφορά γίνεται στο δεύτερο κεφάλαιο, το οποίο είναι αφιερωμένο στις στροφές με υπερμιγαδικούς αριθμούς. Περιγράφονται οι στροφές των μοναδιαίων υπερμιγαδικών αριθμών και δημιουργείται - αναλύεται η ιδιαίτερης σημασίας συνάρτηση στροφής R[q]. Αναλύονται οι στροφές με τους φανταστικούς υπερμιγαδικούς αριθμούς και τελικά παρουσιάζονται οι περιστρεφόμενες καμπύλες. Έμφαση αποδίδεται στο τρίτο κεφάλαιο, όπου αναφέρονται και αναλύονται κάποιες εφαρμογές των υπερμιγαδικών αριθμών στην γεωμετρία. Παρουσιάζονται οι γωνίες του Euler καθώς και τα πλεονεκτήματα που έχουν οι υπερμιγαδικοί αριθμοί για την περιγραφή των γωνιών και γίνεται αναφορά στα οκτόνια, τα οποία στην πραγματικότητα αποτελούν μία προέκταση των υπερμιγαδικών αριθμών. Τέλος αναφέρομαι στην νηματοποίηση του Hopf και στα πλαίσια Frenet. Το τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο στηρίζεται στην ανάλυση της σημασίας των υπερμιγαδικών αριθμών, πρώτα στη Φυσική και στη συνέχεια, στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Πιο συγκεκριμένα, στη Φυσική είναι απαραίτητοι σε τομείς όπως η κλασική Μηχανική, η εφαρμοσμένη ηλεκτροδυναμική, ο ηλεκτρομαγνητισμός, η κβαντομηχανική και η σωματιδιακή Φυσική, ενώ στην Επιστήμη των Υπολογιστών χρησιμοποιούνται στην μηχανική όραση και στα τρισδιάστατα γραφικά. Τέλος, στο παράρτημα παρατίθενται οι κώδικες του προγράμματος Mathematica που χρησιμοποιήθηκαν για τα παραδείγματα.
    • The purpose of this dissertation is to present the quaternions, their properties and their applications using the Mathematica program. With the help of this powerfoul and special program we will try to give examples that will help in the understanding of quaternions. Alfred Gray's book is used as the main source ''Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica ''. The first chapter refers to the orthogonal matrices. It presents the rotation matrices and their properties. The following is a historical overview of how quaternions were discovered by William Rowan Hamilton and at the end the properties of quaternions are described. Special reference is made to the second chapter, which is devoted to spins with quaternions. The rotations of the unit quaternion are described and the rotational function R[q] is created - analyzed. The rotations with the imaginary quaternion are analyzed and finally the rotating curves are presented. Emphasis is placed on the third chapter, which reports and analyzes the applications of quaternions through the field of mathematics, geometry. Euler angles are presented as well as the advantages that quaternions have to describe these angles, reference is made to the octonions which are in fact an extension of the quaternions, to the Hopf vibration and finally to the Frenet frames. The fourth and final chapter is based on the analysis of the importance of quaternions, first in Physics and then in Computer Science. More specifically in Physics they are necessary in fields such as Classical Engineering, Electrodynamics, Electromagnetism, Quantum Mechanics and Particle Physics, while in Computer Science they are used in mechanical vision and 3D graphics. Finally, the appendix lists the Mathematica program codes used for the examples.
  13. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.