Στοχαστική Ολοκλήρωση και Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις

Stochastic Integration and Stochastic Differential Equations (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Λαυρεντάκης, Αντώνιος
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 26 Σεπτεμβρίου 2020 [2020-09-26]
  5. Ελληνικά
  6. 83
  7. Δάρας, Τρύφων
  8. Πολίτης , Κωνσταντίνος
  9. Στοχαστικές Διαδικασίες | Stochastic Processes | Κίνηση Brown | Brownian Motion | Martingales σε διακριτό και συνεχή χρόνο | Martingales in discrete and continuous time | Στοχαστικά Ολοκληρώματα | Stochastic Integrals | Στοχαστική Ανάλυση | Stochastic Analysis | Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις | Stochastic Differential Equations
  10. 3
  11. 14
  12. 0
    • Μια στοχαστική διαφορική εξίσωση προκύπτει όταν επιτρέψουμε στους συντελεστές μιας διαφορικής εξίσωσης να πάρουν κάποιο βαθμό τυχαιότητας. Είναι τότε εμφανές ότι και στη λύση μιας στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης θα υπεισέρχεται τυχαιότητα. Τέτοιου είδους εξισώσεις προσφέρουν ένα αποτελεσματικό πλαίσιο για την κατασκευή και ανάλυση στοχαστικών μοντέλων. Στο πρώτο κεφάλαιο υπενθυμίζουμε κάποιες βασικές έννοιες από τη Θεωρία Πιθανοτήτων οι οποίες είναι απαραίτητες για τη συνέχεια. Στις δύο τελευταίες παραγράφους αναπτύσσουμε τη θεωρία για τη δεσμευμένη μέση τιμή και κάποια στοιχεία από τη θεωρία των martingales. Μια από τις πιο σημαντικές στοχαστικές διαδικασίες σε συνεχή χρόνο είναι η κίνηση Brown (ή διαδικασία Wiener). Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τη βασική θεωρία της κίνησης Brown συμπεριλαμβανομένων των ιδιοτήτων των τροχιών της και δίνουμε με λεπτομέρειες έναν από τους τρόπους κατασκευή της. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε εκτενώς το στοχαστικό ολοκλήρωμα Ito. Έχοντας ορίσει το στοχαστικό ολοκλήρωμα Ito, δείχνουμε ότι η διαδικασία που προκύπτει από αυτό είναι συνεχής και ικανοποιεί την ιδιότητα martingale. Στην συνέχεια αποδεικνύουμε τον κανόνα του Ito για το γινόμενο στοχαστικών διαφορικών και μέσω αυτού δείχνουμε μια στοχαστική εκδοχή του γνωστού σε μας κανόνα της αλυσίδας, τον λεγόμενο τύπο του Ito. Τέλος, γίνεται λόγος για το ολοκλήρωμα Wiener το οποίο κατέχει τη σημαντική ιδιότητα ότι είναι κανονική τυχαία μεταβλητή, καθώς και για το ολοκλήρωμα Stratonovich για το οποίο δεν ισχύει η ιδιότητα martingale, αλλά ισχύει ο συνήθης κανόνας της αλυσίδας. Στο τελευταίο κεφάλαιο εισάγουμε την έννοια της στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης. Χρησιμοποιούμε τα εργαλεία που αναπτύξαμε στο τρίτο κεφάλαιο για να λύσουμε κάποιες εξισώσεις και για να δείξουμε την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων κάτω υπό ορισμένες συνθήκες. Τέλος βρίσκουμε ένα κλειστό τύπο για τις λύσεις των γραμμικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων και κάνουμε μια αναφορά στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος.
    • A stochastic differential equation is obtained by allowing some randomness on the coefficients of a differential equation. It is clear that randomness will be involved in the solution of a stochastic differential equation. Such kind of equations offer an effective framework for the construction and analysis of stochastic models. In the first chapter we recall some basic concepts from Probability Theory which will be required later. In the last two sections we develop the theory of Conditional Expectation and present some elements from the theory of martingales in discrete time. One of the most important stochastic processes in continuous time is Brownian Motion (or Wiener Process). In the second chapter we develop the basic theory of Brownian Motion including the properties of its paths and give details of its construction. In the third chapter we study extensively the Ito Stochastic Integral. Having defined the stochastic integral, we show that the process resulting from it is continuous and satisfies the martingale property. We then prove Ito's Rule for the product of stochastic differentials and through it we show a stochastic version of the ordinary calculus chain rule, the so-called Ito's Formula. Finally, there is talk of the Wiener Integral, which holds the important property that it is a normal random variable, as well as of the Stratonovich Integral for which the martingale property does not hold, but the usual chain rule from ordinary calculus applies. In the last chapter we introduce the concept of a stochastic differential equation. We use the tools we developed in the third chapter to solve some equations and to prove the existence and uniqueness of solutions under certain conditions. Finally, we find a closed formula for the solutions of linear stochastic differential equations and make a short introduction to the linear filtering problem.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.