Στο πρώτο κεφάλαιο πραγματοποιείται μια αναφορά στην γέννηση των μη
Ευκλείδειων Γεωμετριών αλλα και σε μοντέλα μη Ευκλείδειων Γεωμετριών, όπως η
Ελλειπτική Γεωμετρία και η Σφαιρική Γεωμετρία, αλλά και στο αξιωματικό σύστημα
του Hilbert.
Στο δεύτερο κεφάλαιο της διπλωματικής εργασίας μελετάται ο τρόπος
εισαγωγής των εννοιών των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών στη Δευτεροβάθμια
εκπαίδευση και έγινε προσπάθεια να απαντηθούν ερωτήματα, όπως: (α) Γιατί είναι
χρήσιμη η γνώση των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών σε μαθητές λυκείου; Ποιες
δυσκολίες θα αντιμετωπίσουν οι μαθητές; (β) Ποιες διδακτικές μεθόδους μπορούν να
χρησιμοποιηθούν για να γίνει κατανοητή η έννοια των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών;
Στα πλαίσια της συγκεκριμένης διπλωματικής εργασίας δεν πραγματοποιήθηκε
εμπειρική έρευνα, καθώς έχουν πραγματοποιηθεί αρκετές στον ελληνικό και στο
διεθνή χώρο. Επίσης, ένα από πιο σημαντικά και επίκαιρα ζητήματα στην
Μαθηματική εκπαίδευση είναι η μετάβαση των μαθητών-φοιτητών από τη μια
βαθμίδα εκπαίδευσης στην άλλη, από την πρωτοβάθμια εκπαίδευση στη
δευτεροβάθμια και από τη δευτεροβάθμια στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Ιστορικά,
μια τέτοια σύνδεση ξεκινά από τον Klein (1925), ο οποίος εστιάζεται στις δυσκολίες
του αντικειμένου των Μαθηματικών.
Στο πλαίσιο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης συναντάμε αρκετές έρευνες που
σχετίζονται με τη σφαιρική γεωμετρία. Σημαντική είναι η έρευνα του Lenart (1993),
στην οποία περιγράφει ένα διδακτικό πείραμα στο οποίο αντιπαραθέτει τις έννοιες
της επίπεδης γεωμετρίας και της σφαιρικής γεωμετρίας σε μαθητές μεταξύ 10 και 15
ετών. Στο ίδιο πλαίσιο, πολύ σημαντικές είναι και οι έρευνες του Jan van den Brink
και της ομάδας του που διεξήχθησαν στο ινστιτούτο Freudenthal. Το πρόγραμμα αυτό
στο επίπεδο του λυκείου επιχειρεί να αναδιαρθρώσει το αναλυτικό πρόγραμμα των
μαθηματικών ξεκινώντας από το εκπαιδευτικό εγχειρίδιο 'Mecca'. Το εκπαιδευτικό
αυτό εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές 15 με 16 ετών και ασχολείται κυρίως με τη
σφαιρική γεωμετρία πάνω στην υδρόγειο σφαίρα. Σε έρευνα που σχετίζεται, στο ίδιο
εκπαιδευτικό πλαίσιο με το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη θα αναφερθούμε στον
Πατρώνη (Patronis, 1994) και σε διδακτική του έρευνα με μαθητές της Α' Λυκείου.
Οι μαθητές, στην αυθόρμητη προσπάθειά τους να αποδείξουν το αίτημα του
2
Ευκλείδη, κατασκεύασαν το τετράπλευρο του Saccheri και γύρω από αυτό
επιχειρηματολόγησαν για την φύση της γεωμετρίας και συγκρούστηκαν για την
έννοια του ορισμού. Στο παραπάνω άρθρο η Ευκλείδεια γεωμετρία που διδάσκονται
οι μαθητές στο Λύκειο χαρακτηρίζεται ως «ημι-αξιωματική γεωμετρία μοντέρνου
τύπου». Ο Δ. Σπανός (Spanos, 1989), σε έρευνα του σε μαθητές Λυκείου πάνω στα
αξιώματα του Hilbert, συμπεραίνει ότι οι μαθητές που τελειώνουν την Α΄ Λυκείου
δεν μπορούν να αποδώσουν άλλο νόημα στους όρους “σημείο” και “ευθεία” παρά
μόνο αυτό της κοινής εποπτείας. Σύμφωνα με τον Cobb (1986), σε καταστάσεις
αλληλεπίδρασης, η διαπραγμάτευση του νοήματος βοηθά τους συμμετέχοντες να
αναπτύξουν τη δική τους μαθηματική τους κατανόηση αλλά και να κατανοήσουν ο
ένας τον άλλον. Στη διαπραγμάτευση του νοήματος μέσα από διαφωνίες και
συγκρούσεις στοχεύουμε να φτάσουμε με την βοήθεια του γνωστικού αντικείμενου
της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Άλλωστε και ιστορικά η ανακάλυψη των μη
Ευκλειδείων Γεωμετριών δημιούργησε διαμάχες και συγκρούσεις στην μαθηματική
κοινότητα. Επίσης, τα κύρια ερευνητικά ερωτήματα που απασχόλησαν τη
διδακτορική διατριβή της Καίσαρη (2014), στο παραπάνω ειδικό διδακτικό και
ιστορικό πλαίσιο είναι τα εξής:
(α) Ποιες προϋποθέσεις πρέπει να πληρούν τα μαθηματικά θέματα που προκαλούν
συνθήκες για τη διαπραγμάτευση του μαθηματικού νοήματος;
(β) Πώς μπορεί να γίνει χρήση της ιστορίας των Μαθηματικών στην παραπάνω
κατεύθυνση;
(γ) Με ποιο τρόπο τα μοντέλα της Γεωμετρίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για
διδακτικούς σκοπούς;
(δ) Με ποιους τρόπους οι φοιτητές χρησιμοποιούν τις γεωμετρικές έννοιες κατά την
διατύπωση αξιωμάτων και την κατασκευή μοντέλου μιας μη Ευκλείδειας
Γεωμετρίας;
(ε) Με ποιους τρόπους οι φοιτητές διαπραγματεύονται το μαθηματικό νόημα και
αλληλεπιδρούν καθώς εμπλέκονται με τέτοιου είδους θέματα;
Ιn the first chapter there is a reference to models of non-Euclidean Geometries,
such as Εlliptic Geometry and Spherical Geometry, but also to Hilbert's Axiom
System.
The second chapter of the thesis refers to the study of the way of introducing
the concepts of non-Euclidean Geometry in Secondary Education and there was an
attempt to answer questions such as (a) Why is the knowledge of non-Euclidean
geometry useful in high school students? Which difficulties will they students face?
(b) Which teaching methods can be used to understand the concept of non-Euclidean
Geometries?
The search has been carried out in the context of this thesis, though several
have taken place in Greece and abroad. Furthermore, one of the most important and
topical issues in mathematical education is the transition of students from school to
university, from one level of education to another, from primary to secondary and
from secondary to tertiary education. Historically, such a link starts with Klein (1925),
which focuses on the difficulties of the subject of athematics.
In the context of secondary education, we come across several surveys related
to spherical geometry. Lenart's (1993) study is also important, as he describes a
teaching experiment in which he compares the concepts of line geometry and
Spherical Geometry to students between 10 and 15 years old. In the same context,
research carried out by Jan van den Brink and his team at the Freudenthal Institute are
important. This programme at high school level attempts to restructure the curriculum
of mathematics starting from the "Mecca" educational manual. This educational
manual is aimed at students aged 15 to 16 years and copes mainly with spherical
geometry on the globe. In related research, in the same educational context as Euclid's
fifth postulate, we will refer to Patronis (1994) and his didactic research with students
from the 1st grade of high school. The students, in their spontaneous attempt to prove
Euclid's postulate, constructed the Saccheri quadrilateral and regarding this, they
argued about the nature of geometry and had a conflict regarding the concept of the
definition. In the above article the Euclidean geometry taught to students in igh chool
is characterised as "semi-axiomatic geometry of a modern type". Spanos (1989), in his
study of high school students on Hilbert's axioms, concludes that students who finish
4
the first grade cannot give any meaning to the terms "point" and "straight" only that of
“joint supervision”. According to Cobb (1986), in interaction situations, the
negotiation of meaning helps the participants to develop their own mathematical
understanding but also to understand each other. We aim to reach with the help of the
cognitive subject of non-Euclidean eometry the negotiation of the meaning through
disputes and conflicts. Besides, historically, the discovery of non-Euclidianeometry
has created controversies and conflicts in the mathematical community. Moreover, the
main research questions that addressed the doctoral thesis of Kesaris (2014) in the
above specific teaching and historical context are:
(a) What are the prerequisites required for mathematical issues that create conditions
for the negotiation of mathematical meaning?
(b) How can the history of mathematics be used in the above subject direction?
(c) How can eometry models be used for teaching purposes?
(d) In what ways do students use geometric concepts when formulating axioms and
constructing a non-Euclidean Geometry model?
Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ ΚΑΙ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ