Μέθοδοι Απόδειξης στα Μαθηματικά

Methods of proof in Mathematics (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Βέλης, Ιωάννης
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 27 Σεπτεμβρίου 2020 [2020-09-27]
  5. Ελληνικά
  6. 93
  7. Μπούκας, Ανδρέας
  8. Ζαχαριάδης, Θεοδόσιος
  9. Κατηγορίες αποδείξεων | Μέθοδοι απόδειξης | Μαθηματικά | Αρχαίοι Έλληνες | Αποδείξεις με τη βοήθεια υπολογιστή | Categories of proof | Methods of proof | Mathematics | Ancient Greeks | Computer assisted proofs.
  10. 6
  11. 39
  12. Περιέχει: σχήματα, εικόνες, πίνακες.
    • Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας, που εκπονήθηκε στο πλαίσιο της θεματικής ενότητας ΜΣΜ 81, είναι να αναδείξει την κυρίαρχη θέση της απόδειξης στην επιστήμη των Μαθηματικών. Η διπλωματική εργασία αποτελείται από έξι κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια ιστορική αναδρομή της έννοιας της απόδειξης από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα και επισημαίνονται τα πρόσωπα που έπαιξαν καθοριστικό ρολό στην θεμελίωση της. Γίνεται ακόμα μια διερεύνηση στα αίτια που ωθήσαν τους αρχαίους Έλληνες στην επινόηση και στη θεμελίωση της απόδειξης καθώς και τη συμβολή της στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται η αξιωματική θεμελίωση της μαθηματικής θεωρίας (κλασσική και τυπική) και η έννοια του μαθηματικού συστήματος. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μια εκτενής παρουσίαση της μαθηματικής λογικής και περιγράφονται τα βασικά της μέρη που αποτελούν απαραίτητα εργαλεία για την καταγραφή μιας μαθηματικής απόδειξης με ακρίβεια και με σαφήνεια. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι μέθοδοι της μαθηματικής απόδειξης αφού δοθούν πρώτα οι απαραίτητες εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί και αναλύεται η σημασία και ο ρόλος της καθεμίας από αυτές. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά όλες οι κατηγορίες των παραγωγικών αποδείξεων. Αυτό πραγματοποιείται τόσο σε θεωρητικό όσο και σε πρακτικό επίπεδο (λυμένα παραδείγματα) σε κάθε μια από τις κατηγορίες των αποδείξεων. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής εξαιτίας της εξέχουσας θέσης που κατέχει στη μαθηματική απόδειξη. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η πιο πρόσφατη μέθοδος, η απόδειξη με τη βοήθεια υπολογιστή. Συγκεκριμένα, γίνεται ανάλυση της δομής της, αναφορά στις φιλοσοφικές ενστάσεις που αφορούν την εφαρμογή της στα Μαθηματικά καθώς και στη συμβολή της στην απόδειξη μαθηματικών θεωρημάτων. Στο έβδομο και τελευταίο κεφάλαιο γίνεται μια εκτεταμένη αναφορά στο ρόλο και τις λειτουργείες της απόδειξης δίνοντας ιδιαίτερο βάρος στην διδακτική των Μαθηματικών.
    • The purpose of this thesis, which was prepared within the framework of the thematic unit MSM 81, is to highlight the dominant position of proof in the science of Mathematics. The thesis comprises of six chapters. In the first chapter there is a historical review of the concept of proof from antiquity to the present day and the persons who played a decisive role in its foundation are highlighted. There is also an investigation into the causes that pushed the ancient Greeks to the invention and foundation of proof as well as its contribution to the development of Mathematics. The second chapter presents the axiomatic foundation of the mathematical theory (classical and formal) and the concept of the mathematical system. In the third chapter an extensive presentation of mathematical logic is made, and its key parts are described, which are necessary tools for recording a mathematical proof correctly and clearly. In the fourth chapter the methods of mathematical proof are presented after the necessary introductory concepts and definitions have been given and the significance and role of each of them is analyzed. In the fifth chapter all categories of deductive proofs are presented in detail. This is carried out both at the theoretical and practical level (solved examples) in each of the categories of proofs. Special emphasis is given to the method of mathematical induction because of the prominence it occupies in mathematical proof. In the sixth chapter the most recent method, computer assisted proof, is presented. Specifically, an analytical reference is made to its structure, the philosophical objections concerning its implementation to the field of Mathematics and its contribution to the proof of several Mathematics theorems. In the seventh chapter an extensive reference is made to the role and functions of proof, emphasizing to the teaching of Mathematics.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.