Φασματική ανάλυση του διανυσματικού τελεστή Laplace σε καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων

On the vector Laplace spectral decomposition in curvilinear coordinates (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Αρμάγου, Μαρία
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 26 Σεπτεμβρίου 2020 [2020-09-26]
  5. Ελληνικά
  6. 269
  7. Καριώτου, Φωτεινή
  8. Τσίτσας , Νικόλαος
  9. Βαθμωτή και διανυσματική εξίσωση Laplace | Διανυσματικές αρμονικές | Διανυσματικές ιδιοσυναρτήσεις | Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων | Scalar and vector equation Laplace | Vector harmonics | Vector eigenfunctions | Orthogonal curvilinear coordinate system
  10. 2
  11. 11
  12. 23
  13. Περιέχει : πίνακες, εικόνες
    • Αρκετές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν ορισμένα φυσικά φαινόμενα περιέχουν τον τελεστή Laplace. Συχνά τα ζητούμενα πεδία δεν είναι βαθμωτά και σε ορισμένες περιπτώσεις δεν μπορούν να εκφραστούν με την κλίση ενός βαθμωτού πεδίου. Τότε ο υπολογισμός των διανυσματικών πεδίων είναι εν γένει πιο περίπλοκος. Η επιλογή κατάλληλου για τις συνοριακές συνθήκες, συστήματος συντεταγμένων μπορεί να απλοποιήσει την επίλυση. Η εύρεση βάσης ιδιοσυναρτήσεων του τελεστή Laplace, ορθογώνιων επί της φραγμένης επιφάνειας του επιλεγμένου συστήματος, μπορεί να συνεισφέρει στην επίλυση πολλών προβλημάτων και αποτελεί τον κύριο στόχο αυτής της διπλωματικής εργασίας. Η βασική ιδέα ανήκει στους Morse και Feshbach (1953) και την εφάρμοσαν στην περίπτωση της διανυσματικής εξίσωσης Helmholtz. Αποτύπωσαν μια μέθοδο εύρεσης τριών διανυσματικών πεδίων, τα οποία αποτελούν βάση του χώρου των λύσεων της εξίσωσης. Η μέθοδος εφαρμόζεται αν ένας από τους μετρικούς συντελεστές του συστήματος συντεταγμένων ισούται με τη μονάδα και το πηλίκο των δύο άλλων είναι ανεξάρτητο από τη μεταβλητή, η οποία αντιστοιχεί στον προηγούμενο συντελεστή. Στη παρούσα διπλωματική εργασία, η μέθοδος αποδεικνύεται ότι μπορεί να εφαρμοστεί και στη διανυσματική εξίσωση Laplace, υπό τις ίδιες προϋποθέσεις. Έτσι όταν το σύστημα συντεταγμένων είναι ένα από τα: καρτεσιανό, κυκλικό κυλινδρικό, ελλειπτικό κυλινδρικό, παραβολικό κυλινδρικό, σφαιρικό ή κωνικοσφαιρικό, μπορούμε να ορίσουμε τη γενική μορφή των διανυσμάτων της βάσης του χώρου των λύσεων. Στην παρούσα εργασία, για κάθε ένα από τα προηγούμενα έξι συστήματα που μελετώνται, δίνονται τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά και υπολογίζονται οι απαραίτητοι, για την εφαρμογή της μεθόδου, διαφορικοί τελεστές. Στη συνέχεια παράγονται τα τρία γραμμικά ανεξάρτητα διανυσματικά πεδία, τα οποία αποτελούν τη βάση που αναζητούμε. Για την παραγωγή αυτών των πεδίων απαιτούνται βαθμωτές αρμονικές ιδιοσυναρτήσεις. Στο πλαίσιο αυτής της εργασίας, η μέθοδος χτίζεται πάνω σε μια ενδεικτική επιλογή βαθμωτών ιδιοσυναρτήσεων. Η φασματική ανάλυση του τελεστή Laplace, σε αυτά τα συστήματα, μας φέρνει κάθε φορά αντιμέτωπους με κάποια από τις ειδικές συναρτήσεις Bessel, Mathieu, Weber, Legendre ή τέλος Lamé. Γι αυτό το λόγο γίνεται σύντομη παρουσίαση ιδιοτήτων που τις ικανοποιούν.
    • Many differential equations that describe natural phenomena include Laplace operator. The requested fields are often not scalar and, in some cases, cannot be described by the gradient of a scalar field. When that is the case, computing vector fields is generally more difficult. The selection of a proper coordinate system for the boundary conditions can simplify the solution. Finding a basis of eigenfunctions of Laplace operator, which are orthogonal over the bounded surface of the selected system, can contribute to the solution of many mathematical problems, and thus, is the main purpose of this thesis. The core idea belongs to Morse and Feshbach (1953) and was applied in the vector Helmholtz equation. They developped a method of finding three vector fields which form a basis of the equation's solutions. The method can be applied if one of the coordinate systems's scale factors equals to unity and the ratio of the other two scale factors is independent of the coordinate corresponding to the first scale factor. In this thesis, the method is proved to be applicable for the vector Laplace equation, as well, under the same conditions. Thus, when the coordinate system is one of the following: rectangular, circular cylinder, elliptic cylinder, parabolic cylinder, spheroconal, a general triplet of vector eigensolutions can be defined, so as to form a basis for the functional space of solutions of the vector Laplace equation. In this thesis, for each of the six coordinate systems previously mentioned, the geometric characteristics are given and the necessary differential operators for the application of the method are computed. After that, three linear, independent, vector fields are constructed, to solve the vector Laplace equation in the corresponding coordinate system, in a form appropriate for many physical boundary conditions. Thus, these fields, need scalar, harmonic eigenfunctions in order to be constructed. For the purposes of this thesis, the method is being built upon an indicative selection of scalar eigenfunctions. The vector Laplace spectral decomposition in those coordinate systems, brings us every time face to face with one of the following special functions: Bessel, Mathieu, Weber, Legendre or Lamé. For this reason, a short presentation of their properties is included in the appendix.
  15. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.