Ο κύριος στόχος της ανά χείρας εργασίας είναι να παρουσιάσει στον αναγνώστη μια ολοκληρωμένη εισαγωγή στη Μέθοδο Βοηθητικών Πηγών (ΜΒΠ), καθώς και να επιδειχθεί η χρήση και τα αποτελέσματα της μεθόδου σε βασικά προβλήματα σκέδασης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Βασικό στόχο της εργασίας, αποτελεί επίσης η ανάπτυξη προγραμμάτων στο λογισμικό Mathematica® για την επίλυση προβλημάτων, και κυρίως για την επαλήθευση των αριθμητικών αποτελεσμάτων, μέσω καταλλήλων μέτρων σφάλματος, μέσω σύγκρισης τους με αναλυτικές λύσεις (όπου αυτές είναι διαθέσιμες) ή μέσω σύγκρισης με δημοσιευμένα αριθμητικά αποτελέσματα.
Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια στοιχειώδης εισαγωγή στους θεμελιώδεις νόμους που διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα, την κατηγοριοποίηση των υλικών μέσων ως προς τις ηλεκτρομαγνητικές τους ιδιότητες, στα αρμονικώς χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρομαγνητικά πεδία, καθώς και σε βασικές αρχές που χρησιμοποιούνται στην επίλυση πιο σύνθετων προβλημάτων του υπολογιστικού ηλεκτρομαγνητισμού.
Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθόδου, και γίνεται συστηματική ανάλυση όλων των παραμέτρων που πρέπει να λαμβάνονται υπ’όψιν από τον χρήστη, και οι οποίες επηρεάζουν την αποδοτική εφαρμογή της μεθόδου. Δίνονται ανισοτικές σχέσεις για βασικά μεγέθη όπως το σφάλμα και τον δείκτη κατάστασης, και γίνεται λεπτομερής συζήτηση σχετικά με συγκεκριμένες επιπλοκές που μπορεί να εμφανιστούν λόγω προβληματικού συνδυασμού τιμών των παραμέτρων, καθώς και την προέλευσή των εν λόγω επιπλοκών.
Το τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένα στην αριθμητική επίλυση κάποιων από τα βασικότερα προβλήματα ηλεκτρομαγνητικής σκέδασης σε δύο διαστάσεις, αυτά της σκέδασης από απειρομήκη κυλινδρική δομή κυκλικής και ελλειπτικής διατομής, καθώς και προβλήματα ιδιοτιμών Helmholtz που προκύπτουν από την μελέτη κοίλων μεταλλικών κυματοδηγών αυθαίρετης διατομής, ως προς την ικανότητα διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών πεδίων στο εσωτερικό τους.
Στα προβλήματα του τρίτου κεφαλαίου, παρουσιάζουμε αναλυτικές εκφράσεις των γραμμικών συστημάτων προς επίλυση, που αναπτύξαμε για τους σκοπούς της εργασίας, ώστε ο αναγνώστης να μπορεί να υλοποιήσει τη μέθοδο αφιερώνοντας ελάχιστο χρόνο και σε ελάχιστες γραμμές κώδικα, και να επαληθεύσει τα αποτελέσματά μας, τα οποία και εμείς επαληθεύουμε με τη βοήθεια κατάλληλων σφαλμάτων, αλλά και αναλυτικών εκφράσεων.
Στο τέταρτο κεφάλαιο βρίσκουμε αναλυτικές εκφράσεις για τις ιδιοτιμές και τα πεδία, στις απλές περιπτώσεις κοίλων κυματοδηγών ορθογωνικής και κυκλικής διατομής, προκειμένου να επαληθεύσουμε τα αποτελέσματά μας, και παρουσιάζουμε δύο μεθόδους που βασίζονται στη ΜΒΠ για την εύρεση των ιδιοτιμών, τη Μέθοδο Ευθείας Αναζήτησης Ορίζουσας (Direct Determinant Search Method, DDSM) καθώς και τη Μέθοδο Βοηθητικών Πηγή με Εξωτερική Πηγή (Method of auxiliary sources with External Source, MAS-ES) και συγκρίνουμε τα αποτελέσματά τους με τις αναλυτικές εκφράσεις, είτε με δημοσιευμένα αποτελέσματα για τις πιο σύνθετες περιπτώσεις.
Η εργασία κλείνει με κάποια σχόλια, αντικειμενικές παρατηρήσεις, συμπεράσματα, καθώς και εκτιμήσεις σχετικά με την γενικότερη εφαρμογή της μεθόδου.
The main objective of this thesis is to provide the reader with a complete introduction to the Method of Auxiliary Sources (MAS), and to demonstrate the implementation of the method, when applied to basic electromagnetic scattering problems. Another objective is the development of computer programs in Mathematica® for the numerical solution of the aforementioned problems, as well as the assertion of validity of the extracted numerical results, by means of comparison to existing analytical solutions (where such solutions are available) or by comparison to existing published numerical results.
In the first chapter we present an elementary introduction to the fundamental laws which govern electromagnetic phenomena, the classification of media with respect to their electromagnetic properties, the harmonically time-varying electromagnetic fields, and to basic principles that apply to more complex problems.
The second chapter deals with the theoretical background of the method, and also presents a systematic analysis of all the parameters of the method that need to be considered by the user, pertaining to its efficient application. We introduce expressions which relate the maximum error to the number of degrees of freedom of the solution, and discuss in detail certain implications which may occur due to problematic combinations of values of the method’s parameters, as well as explicate the origin of these implications.
The third and fourth chapter are concerned with the numerical solution of benchmark problems in the area of electromagnetic scattering, those of scattering by infinite cylindrical structures of circular and elliptic cross-section, and Helmholtz eigenvalue problems which arise in the study of the modes of propagation within hollow metallic waveguides, respectively.
For the problems of the third chapter, we derive analytical expressions for the linear system of the method, in order for the reader to be able to implement the very same examples in the minimum amount of time and code, and verify our results, as we do, by means of proper measures of numerical error and analytical solutions.
In the fourth chapter we present expressions for the eigenvalues and eigenfields of the propagating for the two most common cases of hollow waveguides, the rectangular and the circular one, and we introduce two methods for the location of eigenvalues, the Direct Determinant Search Method (DDSM) and the Method of Auxiliary Sources with External Source (MAS-ES). Furthermore, we compare our results to the aforementioned closed-form expressions, or to published results from the literature, for the more complex cases.
Finally, we conclude with miscellaneous remarks, as well as some views on the subject, mainly with respect to the general applicability of the method.
Προβλήματα Ηλεκτρομαγνητικής Σκέδασης με Εφαρμογή της Μεθόδου Βοηθητικών Πηγών