Δυναμικά συστήματα πλέγματος | Localized oscillations and their dynamics
2
4
6
Περιέχει : διαγράμματα, εικόνες
Η χρήση των διαφορικών εξισώσεων στην επίλυση προβλημάτων που προκύπτουν από την μοντελοποίηση προβλημάτων που προκύπτουν από διάφορες επιστήμες, όπως η Φυσική, η Χημεία, η Βιολογία, η Οικονομία κ.α., είναι πλέον αναπόσπαστο κομμάτι σχεδόν σε όλα τα σύγχρονα προβλήματα.
Στην εργασία αυτή πραγματοποιούμε μια εισαγωγή σε μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα πλέγματος, μια ιδιαιτέρως σημαντική κλάση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες περιγράφουν πολλά φαινόμενα, από τη φυσική στερεάς κατάστασης (αποδιάρθρωση κρυστάλλων), ως την μαθηματική βιολογία (δυναμική συμπεριφορά πρωτεϊνών και DNA).
Αρχικά δίνουμε παραδείγματα απλών αρμονικών ταλαντωτών τους οποίους και μελετάμε με τη βοήθεια των συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Στη συνέχεια, μελετώντας αρχικά μη-γραμμικές ταλαντώσεις σε συστήματα συζευγμένων ταλαντωτών, περνάμε στη μελέτη ταλαντώσεων σε συστήματα μη-γραμμικών πλεγμάτων και εξετάζουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά συστημάτων πλέγματος. Κατόπιν, μέσα από τη μελέτη της συμπεριφοράς της αλυσίδας του DNA, διεξάγουμε την περιγραφή του μοντέλου Peyrard-Bishop για την αποδιάρθρωση των μοριακών αλυσίδων πρωτεϊνών. Το επόμενο στάδιο είναι η μελέτη των βασικών συνθηκών ύπαρξης ολικών λύσεων για την διακριτή εξίσωση Klein-Gordon. Τέλος, με τη βοήθεια αριθμητικού κώδικα (Mathematica) εκτελούμε αριθμητικές εξομοιώσεις έχοντας ως στόχο να διερευνήσουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων αυτών και παρουσιάζουμε τα αναλυτικά αποτελέσματα - συμπεράσματα.
The use of differential equations in problem solving resulting from the modeling of problems arising from various sciences, such as Physics, Chemistry, Biology, Economics, etc., is now an integral part of almost all modern problems.
In this work we make an introduction to non-linear dynamic lattice systems, a particularly important class of systems of differential equations, which describe many phenomena, from solid state physics (crystal decomposition) to mathematical biology (dynamic behavior of proteins and DNA).
First we give examples of simple harmonic oscillators which we study with the help of the usual differential equations. Next, by first studying nonlinear oscillations in coupled oscillator systems, we move on to the study of oscillations in nonlinear lattice systems and examine the asymptotic behavior of lattice systems. Then, through the study of the DNA chain behavior, we carry out the description of the Peyrard-Bishop model for the decomposition of protein molecular chains. The next step is to study the basic conditions of existence of total solutions for the discrete Klein-Gordon equation. Finally, with the help of numerical code (Mathematica) we perform numerical simulations aiming to investigate the asymptotic behavior of these solutions and present the detailed results - conclusions.
Δυναμικά συστήματα πλέγματος: Εντοπισμένες ταλαντώσεις και δυναμική