Σιαφαρίκα, Π. (2016). Ολοκληρωτικές Εξισώσεις. Πάτρα: Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο.
Το μονοδιάστατο πρόβλημα ελαστικής δοκού για τη μη-γραμμική δυναμική ελαστικότητα
έχει τη μορφή
u_tt (t,x)=σ(u_x (t,x))_x+g(t,x),0≺x≺1,t≻0
u(0,x)=u_0 (x),〖 u〗_t (0,x)=u_1 (x),x∈R
όπου u η παραμόρφωση της δοκού, σ η τάση που αναπτύσσεται σε αυτήν και g οι μαζικές δυνάμεις (body forces). Ο καταστατικός νόμος είναι
σ(t,x)=σ(u_x (t,x)).
Είναι γνωστό ότι αν η σ είναι μη γραμμική τότε το πρόβλημα δε μπορεί να έχει καθολική στο χρόνο λύση για όλα τα μη-ομογενή δεδομένα.
Ένας τρόπος για να παρακαμφθεί αυτό το πρόβλημα είναι να αναζητήσει κάποιος ασθενείς λύσεις (shocks). Μια άλλη ιδέα είναι να αλλάξει ο καταστατικός νόμος. Να εισαγάγει κάποιος έναν όρο ιξώδους (viscosity term), δηλαδή να υποθέσει σε επίπεδο καταστατικού
σ(t,x)=σ(u_x (t,x))+∫_0^t▒〖α(t-τ)σ(u_x (t,x))ⅆτ.〗
Τέτοια υπόθεση αλλάζει τη διαφορική εξίσωση και αποδεικνύεται ότι το αντίστοιχο πρόβλημα έχει καθολική λύση που είναι ασυμπτωτικά ευσταθής όσο μεγάλα και αν είναι τα δεδομένα.
Η παρούσα εργασία πραγματεύεται το ενδιάμεσο πρόβλημα που προέρχεται από υλικά με μνήμη (ιξωδοελαστική συμπεριφορά). Ο καταστατικός νόμος έχει και έναν ολοκληρωτικό όρο που εισαγάγει τη μνήμη του υλικού και έχει σαν αποτέλεσμα το πρόβλημα να διέπεται από την παρακάτω ολοκληροδιαφορική εξίσωση
u_tt (t,x)=σ(u_x (t,x))_x+∫_0^t▒〖a^' (t-τ)σ(u_x (t,x))_x ⅆτ〗+g(t,x),0≺t≺∞,x∈R
u(0,x)=u_0 (x), u_t (0,x)=u_1 (x),x∈R. (1)
Στόχος της εργασίας είναι να μελετηθεί η καθολική ύπαρξη και η ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων της παραπάνω ολοκληροδιαφορικής εξίσωσης με τη βοήθεια ενεργειακών μεθόδων. Επίσης, επιχειρείται σύνδεση τέτοιων μοντέλων στη μελέτη της συμπεριφοράς σύνθετων υλικών.
Η εργασία είναι οργανωμένη σε 5 κεφάλαια. Στο 1ο κεφάλαιο παραθέτονται κάποιες βασικές έννοιες, οι οποίες είναι χρήσιμες για την κατανόηση των παρακάτω κεφαλαίων, όπως οι βασικοί ορισμοί των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, η ταξινόμηση των Ολοκληρωτικών εξισώσεων, οι χώροι Banach και L^p και το θεώρημα σταθερού σημείου Banach και το λήμμα Gronwall.
Στο κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται οι απαραίτητες για τη συνέχεια έννοιες για τη μη γραμμική ελαστικότητα και περιγράφεται το μονοδιάστατο πρόβλημα ελαστικής δοκού για τη μη γραμμική δυναμική ελαστικότητα που είναι το κύριο αντικείμενο μελέτης αυτής της εργασίας.
Η μελέτη και τα αποτελέσματα του Lax για το πρόβλημα αρχικών τιμών
y_tt=K^2 (y_x)y_(xx,)
y(x,0)=y_0 (x), y_t (x,0)=0, 0≤x≤L,
παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 3.
Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται η μελέτη της καθολικής ύπαρξης και της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων της ολοκληροδιαφορικής εξίσωσης (1) με τη βοήθεια των ενεργειακών μεθόδων (energy estimates). Η μελέτη αρχικά γίνεται σε άπειρο χωρίο, ενώ στην ενότητα 4.4 περιοριζόμαστε στο διάστημα [0,1].
Τέλος, στο κεφάλαιο 5 δίνεται μια συνοπτική αναφορά για τα πολυμερή υλικά και γίνεται σύνδεση του καταστατικού νόμου πολυμερών κατά Schapery
σ=h_e E_e ϵ+h_1 ∫_(0^-)^t▒〖ΔΕ(ρ-ρ^' ) (ⅆh_2 ϵ)/ⅆτ ⅆτ,〗
με τον καταστατικό νόμο
σ(t,x)=σ(u_x (t,x))+∫_0^t▒〖α(t-τ)σ(u_x (t,x))ⅆτ.〗
The nonlinear one-dimensional dynamic problem of an elastic bar is described by
u_tt (t,x)=σ(u_x (t,x))_x+g(t,x),0≺x≺1,t≻0
u(0,x)=u_0 (x),〖 u〗_t (0,x)=u_1 (x),x∈R,
where u is the deformation of the bar, σ the stress that develops in the bar and g the body forces. The constitutive law is
σ(t,x)=σ(u_x (t,x)).
It is known that if σ is genuinely nonlinear, then this problem cannot have a global in time solution for any non-zero data.
One resolution of this is to give up the requirement of smooth solutions and seek weak (or shock) solutions. A second idea is to change the underlying constitutive assumption, by introducing a viscosity term, which means to assume
σ(t,x)=σ(u_x (t,x))+∫_0^t▒〖α(t-τ)σ(u_x (t,x))ⅆτ.〗
Such hypothesis changes the differential equation and proves that the corresponding problem has a global solution that is asymptotically stable no matter how large the data is.
This thesis treats the intermediate problem that arises when studying materials with memory (viscoelastic behavior). The constitutive equation has an integral term that introduces memory and in this case the following integrodifferential equation describes the problem
u_tt (t,x)=σ(u_x (t,x))_x+∫_0^t▒〖a^' (t-τ)σ(u_x (t,x))_x ⅆτ〗+g(t,x),0≺t≺∞,x∈R
u(0,x)=u_0 (x), u_t (0,x)=u_1 (x),x∈R. (1)
The aim of this thesis is to study the global existence and the asymptotic behavior of the solutions of the above integrodifferential equation, with the help of energy methods. Also, we attempt to connect such models with the behavior of polymeric materials.
The thesis is organized in 5 chapters. The 1st chapter introduces some primary mathematical concepts, which are necessary for understating the chapters that follows after, such as the basic definitions of Partial Differential Equations, the classification of Integral Equations, the Banach and L^p spaces and the Banach fixed point theorem and Gronwall lemma.
Chapter 2 presents the necessary concepts for nonlinear elasticity and describes the one-dimensional problem of elastic bar for nonlinear dynamic elasticity, which is the main object of study of this paper.
Chapter 3 presents Lax’s work and results, for the problem of initial values
y_tt=K^2 (y_x)y_(xx,)
y(x,0)=y_0 (x), y_t (x,0)=0, 0≤x≤L,
presented in chapter 3.
Chapter 4 studies the global existence and asymptotic behavior of the solutions of the integral-differential equation (1), with the support of energy estimates. Initially, the study takes place in infinite space, while in section 4.4 the space is limited to [0,1].
Finally, chapter 5 gives a brief report for polymeric materials where a connection of the Schapery’s constitutive polymer law
σ=h_e E_e ϵ+h_1 ∫_(0^-)^t▒〖ΔΕ(ρ-ρ^' ) (ⅆh_2 ϵ)/ⅆτ ⅆτ,〗
with the constitutive law
σ(t,x)=σ(u_x (t,x))+∫_0^t▒〖α(t-τ)σ(u_x (t,x))ⅆτ,〗
takes place.
Εφαρμογές ενεργειακών μεθόδων σε ένα μοντέλο μονοδιάστατης μη- γραμμικής ιξωδοελαστικότητας.