Χώροι Sobolev και προβλήματα συνοριακών τιμών

Sobolev spaces and boundary value problems (english)

  1. MSc thesis
  2. Παπαδάκης, Σπυρίδων
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 27 September 2020 [2020-09-27]
  5. Ελληνικά
  6. 84
  7. Μπούκας, Ανδρέας
  8. Μπούκας, Ανδρέας | Παπαδόπουλος, Βασίλειος
  9. Χώροι Sobolev | Sobolev Spaces | Προβλήματα Συνοριακών τιμών | Boundary Value Problems | Θεώρημα Stampacchia | Stampacchia Theorem | Θεώρημα Lax-Milgram | Lax-Milgram Theorem
  10. 5
  11. 7
  12. σχήματα, εικόνες
    • ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σε αυτή τη διπλωματική εργασία θέλουμε να δοθούν στοιχεία βασικής θεωρίας χώρων Sobolev . Ποιός ήταν ο Sergei L’vovich Sobolev ; Σαν ελάχιστο φόρο τιμής για την τεράστια προσφορά του στο χώρο των μαθηματικών οφείλουμε να γνωρίζουμε για τη ζωή και το επιστημονικό του έργο,έτσι στο κεφάλαιο 1 δίδεται βιογραφία. Οι χώροι Sobolev αποτελούν συναρτησιακούς χώρους στους οποίους βρίσκουν φυσικό περιβάλλον επίλυσης, προβλήματα συνοριακών τιμών .Στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται συγκεκριμένα παραδείγματα,εφαρμογές και η Αρχή Μεγίστου, που προσδιορίζει πώς η λύση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών παρουσιάζει ακρότατα που εξαρτώνται από τις τιμές της στο σύνορο και την δεδομένη συνάρτηση του προβλήματος . Για την απόδειξη θεωρημάτων «ύπαρξης και μοναδικότητας» σε προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων με συνοριακές συνθήκες , οι χώροι Sobolev εισάγονται και αποτελούν κύριο εργαλείο (Μεταβολική μέθοδος). Για τον ορισμό των χώρων Sobolev συνδυάζονται οι έννοιες της ασθενούς παραγώγου και η θεωρία χώρων . Μπορούμε να πούμε ότι η θεωρία χώρων Sobolev δίνει μια άλλη οπτική της θεωρίας λογισμού των μεταβολών : Από τη μια έχουμε την ελαχιστοποίηση ενός συναρτησιακού η οποία επιτυγχάνεται με την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης (εξίσωση Euler-Lagrange) Από την άλλη, η ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης ενός προβλήματος συνοριακών τιμών (μεταβολική διατύπωση) , αποδεικνύεται μέσω του αντίστοιχου προβλήματος ελαχιστοποίησης συναρτησιακού. Η ιδέα αυτή παρουσιάζει το πλεονέκτημα ότι για την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης του προβλήματος ελαχιστοποίησης , έχουμε στη διάθεση μας θεωρήματα συναρτησιακής ανάλυσης , όπως το θεώρημα αναπαράστασης Riesz-Frechet , θεώρημα Stampacchia , Θεώρημα Lax-Milgram, τα οποία εισάγονται και περιγράφονται στο κεφάλαιο 2 . Τα θεωρήματα αυτά συνεισφέρουν στη θεμελίωση της μεταβολικής μεθόδου που περιγράφεται κατόπιν στο κεφάλαιο 3 ,όπως και το γεγονός ότι οι χώροι Sobolev είναι χώροι Banach (στις περιπτώσεις που εφοδιάζονται με εσωτερικό γινόμενο χώροι Hilbert.) Στο κεφάλαιο 4 συνεχίζεται η εμβάθυνση στους χώρους Sobolev , εισάγοντας τους χώρους συναρτήσεων δοκιμής που χρησιμοποιούνται στα προβλήματα συνοριακών τιμών στο κεφάλαιο 5.
    • ABSTRACT In this diploma thesis we want to give elements of basic Sobolev space theory. Who was Sergei L’vovich Sobolev? As a small tribute to his enormous contribution to the field of mathematics, we must know about his life and scientific work, so chapter 1 gives a biography. Sobolev spaces are function spaces in which find a natural environment, boundary value problems. Chapter 5 presents specific examples , applications and the Maximum Principle, which identifies how the solution of a boundary value problem presents extrema that depend on the values at the boundary, and the known function of the problem. In order to prove theorems of "existence and uniqueness" in problems of some differential equations with boundary conditions, Sobolev spaces are introduced and are the main tool. (Variational approach) For the definition of Sobolev spaces, the concepts of the weak derivative and the theory of spaces are combined. We can say that Sobolev's space theory gives another perspective to the theory of calculus of variations: On the one hand, we have the minimization of a functional that is achieved by solving a differential equation (Euler-Lagrange equation). On the other hand, the existence and uniqueness of the solution of boundary value problem (variational formulation) is proved by the corresponding problem of minimizing the functional. This idea has the advantage that for the existence and uniqueness of solving the minimization problem, we have at our disposal theorems of functional analysis, such as the Riesz-Frechet representation theorem, Stampacchia theorem, Lax-Milgram theorem, which are introduced and described in Chapter 2. These theorems contribute to the foundation of the variational approach method described below in Chapter 3, as well as the fact that Sobolev spaces are Banach spaces (in cases equipped with Hilbert internal product spaces.) In Chapter 4 the deepening of Sobolev spaces continues, introducing the test function spaces used in the boundary value problems, in section 5.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.