Αλγεβρικά σώματα αριθμών και η εξίσωση του Fermat

Algebraics Number Fields and Fermat’s equation (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Φατούρου, Σταματία
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 27 Σεπτεμβρίου 2020 [2020-09-27]
  5. Ελληνικά
  6. 77
  7. Πουλάκης, Δημήτριος
  8. Παπαδόπουλος, Βασίλειος
  9. Αλγεβρικός αριθμός, Ιδεώδη, Νόρμα | ,Fermat, Kummer
  10. 11
  11. 6
  12. 0
    • Ένα μαθηματικό πρόβλημα που απασχόλησε για περίπου τρεις αιώνες την μαθηματική κοινότητα, ήταν το τελευταίο θεώρημα του Fermat. H εξίσωση x^n+y^n=z^n για n≥3 δεν έχει ακέραιες λύσεις. Ο ίδιος ο Fermat υποστήριξε ότι είχε βρει την απόδειξη αλλά δεν είχε χώρο στις σημειώσεις του για να την γράψει. Δυστυχώς πέθανε πολύ νέος και έτσι το πρόβλημα έμεινε άλυτο. Πολλοί σπουδαίοι μαθηματικοί στην διάρκεια αυτών των τριών αιώνων προσπάθησαν να το λύσουν, δημιουργώντας νέες μαθηματικές έννοιες. Στην παρούσα εργασία, περιγράφουμε την θεωρία των Αλγεβρικών Σωμάτων Αριθμών που αναπτύχθηκε για να λύσει το πρόβλημα. Αποτελείται από 7 κεφάλαια. Στο 10 κεφάλαιο αναλύονται οι θεμελιώδεις έννοιες δακτύλιος, σώμα, ιδεώδες, δακτύλιος πολυωνύμων μιας μεταβλητής, ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων και επεκτάσεις σωμάτων. Στο 20 κεφάλαιο παρουσιάζονται ο αλγεβρικός αριθμός, ο ακέραιος αλγεβρικός αριθμός, ο συζυγής του αλγεβρικού αριθμού, η διακρίνουσα μιας βάσης αλγεβρικών αριθμών σε ένα αριθμητικό σώμα Κ, η νόρμα και το ίχνος του αλγεβρικού αριθμού. Στο 30 κεφάλαιο παρουσιάζονται τα τετραγωνικά και κυκλοτομικά σώματα. Το κυκλοτομικό σώμα Q(ζ_m ), όπου ζ_m=e^(2πi⁄m) η πρωτογενής ρίζα της μονάδας, παίζει σημαντικό ρόλο στην απόδειξη του θεωρήματος του Fermat. Στο 40 κεφάλαιο αναλύεται η παραγοντοποίηση των ακέραιων περιοχών. Αποδεικνύεται ότι οι ακέραιες περιοχές είναι μονοσήμαντης ανάλυσης όταν είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ή δακτύλιος της Noether. Στο 50 κεφάλαιο περιγράφονται τα ιδεώδη, αλλά και τα κλασματικά ιδεώδη στον δακτύλιο των ακεραίων O. Επίσης ορίζεται η ομάδα κλάσεων H και ο αριθμός κλάσεων h του αριθμητικού σώματος Κ. Στο 60 κεφάλαιο περιγράφεται η απόδειξη της περίπτωσης n=4 αλλά και αυτή του Kummer. Ο Kummer απέδειξε το πρόβλημα στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ιδιάζων πρώτος αριθμός p. Συγκεκριμένα χώρισε την απόδειξη σε δύο μέρη: Κάθε ακέραιος της λύσης είναι σχετικά πρώτος με το p. Ένας ακριβώς από τους ακέραιους διαιρείται με το p. Καταλήγοντας, στο 70 κεφάλαιο γίνεται μια ιστορική αναδρομή. Αναφέρονται σπουδαία ονόματα μαθηματικών που εργάστηκαν για το πρόβλημα, μέχρι το 1994 που ήρθε η λύση του από τον Adrew Wiles.
    • Fermat’s Last Theorem is a mathematical problem that has occupied the mathematical community for about three centuries. The equation x^n+y^n=z^n,n≥3 has no integer solutions. Fermat claimed that he had found the proof but had no space on his papers to write it. Unfortunately he died very young and so the problem remained unsolved. Many great mathematicians during these three centuries tried to solve it, creating new mathematical concepts. The aim of this thesis is to study Algebraic Number Theory. The thesis consists of 7 chapters. Chapter 1 analyzes the fundamental concepts such us ring, field, ideal, ring of polynomials of a variable, Euclidean division of polynomials and field extensions. Chapter 2 presents algebraic number, algebraic integer, conjugates of algebraic number, discriminant of a basis of a number field K, norm and trace of algebraic number. Chapter 3 presents quadratic and cyclotomic fields. Cyclotomic field Q(ζ_m ) where ζ_m=e^(2πi⁄m) is a primitive complex mth root of unity, has an important role in proving Fermat’s theorem. Chapter 4 analyzes the factorization in integral domain. It turns out that an integral domain is a unique factorization domainwhen it is Noetherian or a principal ideal domain. Chapter 5 describes ideals, fractional ideals of the ring of integers O. Also define H class-group and h class-number. Chapter 6 presents the proof for n=4 but also of Kummer. Kummer proved the problem when the exponent is regular prime. The proof divided into two parts when no one of x,y,z is a multiple of p when only one of x,y,z is a multiple of p. Finally in chapter 7 a historical review is made. Great names of mathematicians who worked on the problem are mentioned, until 1994 when it was solved by Adrew Wiles.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.