Ομοπαραλληλικοί μετασχηματισμοί | Affine transformations | Ομοπαραλληλική (Αφινική) γεωμετρία | Affine geometry | Κωνικές τομές | Conic sections | Felix Klein | Felix Klein
7
5
Περιέχει : σχήματα, πίνακες, εικόνες.
Σε αυτή τη διπλωματική εργασία στο Κεφάλαιο 1 ορίζουμε και μελετούμε τις Κωνικές τομές στην Ευκλείδεια γεωμετρία, εξετάζουμε την ταξινόμηση των τετραγωνικών επιφανειών και ασχολούμαστε με τις ευθειογενείς επιφάνειες του μονόχωνου υπερβολοειδούς και του υπερβολικού παραβολοειδούς. Στο Κεφάλαιο 2 ορίζουμε την Ευκλείδεια γεωμετρία μέσω των Ευκλείδειων μετασχηματισμών και τη μη Ευκλείδεια Ομοπαραλληλική γεωμετρία μέσω των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών. Επίσης εξετάζουμε τη σχέση των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών και των παράλληλων προβολών. Στο Κεφάλαιο 3 μελετούμε την επίδραση των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών στις κωνικές, την ταξινόμηση των μη εκφυλισμένων κωνικών στην ομοπαραλληλική γεωμετρία, τη χρήση του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ομοπαραλληλικής γεωμετρίας για την απόδειξη κάποιων Ευκλείδειων θεωρημάτων (των Διαμέσων, του Ceva, του Μενελάου) και βλέπουμε την εφαρμογή της ομοπαραλληλικής γεωμετρίας σε συγκεκριμένα προβλήματα κωνικών τομών. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε την άποψη της γεωμετρίας κατά Klein και διαπιστώνουμε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι υπογεωμετρία της Ομοπαραλληλικής γεωμετρίας.
In Chapter 1 of this thesis, we define and study the conic sections in Euclidean geometry, examine the classification of the quadric surfaces and we deal with the straight surfaces of the hyperboloid of one sheet and hyperbolic paraboloid. In Chapter 2, we define Euclidean geometry through Euclidean transformations and non-Euclidean Affine geometry through affine transformations. We also study the relationship between affine transformations and parallel projections. In Chapter 3, we study with the effect of affine transformations on conics, the classification of non-degenerate conics on affine geometry, the use of the Fundamental Theorem of affine geometry to prove some theorems (the Median, Ceva’s, Menelaus’) of the Euclidean geometry and we see the application of affine geometry to specific conic sections problems. In Chapter 4, we present the Klein view of geometry and find that Euclidean geometry is a sub-geometry of affine geometry.
Ομοπαραλληλική Γεωμετρία και Κωνικές Τομές