Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες - Η περίπτωση της Σφαιρικής Γεωμετρίας

Euclidean and Non-Euclidean Geometries -The case of Spherical Geometry (english)

  1. MSc thesis
  2. ΒΑΒΟΥΡΑΝΑΚΗΣ, ΜΙΧΑΛΗΣ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 16 May 2020 [2020-05-16]
  5. Ελληνικά
  6. 140
  7. ΑΡΒΑΝΙΤΟΓΕΩΡΓΟΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ
  8. ΑΡΒΑΝΙΤΟΓΕΩΡΓΟΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ | ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ, ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ
  9. Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, Σφαιρική Γεωμετρία. | Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Spherical Geometry.
  10. 14
  11. 9
  12. Υπάρχουν σχήματα, εικόνες και πίνακες.
    • Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια της θεματικής ενότητας ΜΣΜ 51, για να περιγράψει την πορεία της ανακάλυψης των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών, τη σπουδαιότητά τους και την εφαρμογή τους, δίνοντας έμφαση στο παράδειγμα της Σφαιρικής Γεωμετρίας. Το 1ο κεφάλαιο είναι μια ιστορική διαδρομή μέσα από τα Προελληνικά Μαθηματικά στα Ελληνικά Μαθηματικά και τη θεμελίωση της Γεωμετρίας από τον Ευκλείδη. Η ανακάλυψη στα μέσα του 19ου αι. των μη Ευκλείδειων γεωμετριών από τους Bolyai και Lobachevsky και η εισαγωγή νέων εννοιών δημιούργησε την ανάγκη μιας νέας αξιωματικής μεθόδου, ανεξάρτητης από τον χώρο μας. Ο D. Hilbert εισήγαγε την αξιωματική κατασκευή των νέων γεωμετριών, οι οποίες στηρίζονται στα αξιώματα του γεωμετρικού συστήματος στο οποίο αναφέρονται. Το 2ο κεφάλαιο αναφέρεται στο 1ο βιβλίο των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, που αποτελεί τα θεμέλια ολόκληρης της γεωμετρίας, στο 5ο αίτημα του Ευκλείδη , στην αμφισβήτησή του και στις προσπάθειες για την απόδειξή του. Ο Ποσειδώνιος, ο Πτολεμαίος, ο Πρόκλος, ο Omar Khayyam, ο Playfair, ο Nassir-Edin, ο Gerolamo Saccheri, ο Lambert, o Legendre , o Gauss, προσπάθησαν πολύ, χωρίς όμως αποτέλεσμα. Το 3ο κεφάλαιο αναφέρεται στην ανακάλυψη των νέων μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Ο Ρώσος Nikolai Lobachevsky το 1829 και ο Ούγγρος Janos Bolyai το 1932, δουλεύοντας χωριστά, θεμελίωσαν μια γεωμετρία διαφορετική από την Ευκλείδεια. Δέχθηκαν ως υπόθεση την άρνηση του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη και μαζί με τα άλλα τέσσερα αιτήματα δημιούργησαν την Υπερβολική Γεωμετρία. Ο Bolyai χαρακτηριστικά αναφέρει «…έχω δημιουργήσει ένα νέο σύμπαν από το τίποτα…». Αργότερα, το 1853 ο Γερμανός μαθηματικός Riemann τροποποιώντας λίγο τα τέσσερα πρώτα αιτήματα του Ευκλείδη και αντικαθιστώντας το 5ο αίτημα με την πρόταση: «Δύο οποιεσδήποτε γραμμές ενός επιπέδου τέμνονται», θεμελίωσε την Σφαιρική Γεωμετρία . Πενήντα χρόνια αργότερα ο Einstein την εφάρμοσε στη θεμελίωση της «Γενικής θεωρίας της Σχετικότητας». Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές προτάσεις της Σφαιρικής Γεωμετρίας και της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας.
    • This Master’s dissertation topic was conducted as part of the ΜΣΜ 51 Module and describes the course of the discovery, the importance and application of non-Euclidean geometries as well as putting emphasis on the example of Spherical Geometry. Chapter 1 is a historical journey from Prehistoric Mathematics to Ancient Greek Mathematics and the foundation of Geometry by Euclid. The discovery in the mid-19th century of the non-Euclidean geometries by Bolyai and Lobachevsky and the introduction of new concepts, created the need for a new axiomatic method, independent of our space. D. Hilbert introduced the axiomatic construction of the new geometries, which are based on the axioms of the geometrical system to which they refer. Chapter 2 refers to Euclid's 1st Book of Elements, the foundation of all Geometry, to Euclid's 5th Postulate, the negations and the attempts to prove it. Poseidon, Ptolemy, Proclus, Omar Khayyam, Playfair, Nassir-Edin, Gerolamo Saccheri, Lambert, Legendre, Gauss tried very hard but to no avail. Chapter 3 deals with the discovery of new non-Euclidean geometries. The Russian Nikolai Lobachevsky in 1829 and the Hungarian Janos Bolyai in 1932 working separately, established a Geometry different from the Euclidean. They assumed the rejection of Euclid's 5th postulate and together with the other four postulates created Hyperbolic Geometry. Bolyai typically states "...I have created a new spaceout of nothing ". Later, in 1853 the German mathematician Riemann slightly modified Euclid's first four postulates and by replacing the 5th one with the assumption "any two lines must intersect",he developed Spherical Geometry. Fifty years later Einstein applied it to the foundation of the "General Theory of Relativity". Chapter 4 presents the basic properties of Spherical Geometry and Spherical Trigonometry.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.