Σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η παρουσίαση των fractals από την πλευρά της ανάλυσης, η κατασκευή τους με μαθηματικά και αλγοριθμικά εργαλεία και στο τέλος η διατύπωση μιας διδακτικής πρότασης για την παιδαγωγική αξιοποίηση της χρήσης τους στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση.
Η παρούσα εργασία αποτελείται από έξι κεφάλαια.
Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία σύντομη ιστορική αναδρομή του τρόπου εμφάνισης των fractals στο μαθηματικό πεδίο. Κατόπιν, με οδηγό την πολυπλοκότητά τους αναφέρονται τα βασικά χαρακτηριστικά τους, ώστε να γίνει σαφής η διαφορά τους από τα σχήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας.
Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές μαθηματικές έννοιες της ανάλυσης, ώστε να γίνει πιο ομαλή η θεωρητική προσέγγιση των fractals στα κεφάλαια που ακολουθούν.
Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στο μέτρο ενός συνόλου, διότι αυτό συνδέεται με την ποσοτικοποίηση των μαθηματικών αντικειμένων. Επίσης τίθενται οι βάσεις για τη διάσταση των fractals.
Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάται η διάσταση ενός fractal, ως ένα μέτρο της τραχύτητας του σχήματος. Σε αυτό το σημείο αναφέρονται διάφοροι τύποι διαστάσεων. Επίσης, δίνεται βαρύτητα στη Hausdorff διάσταση και τη διάσταση box.
Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται κατασκευή των fractal αντικειμένων με δύο μεθόδους. Στην πρώτη χρησιμοποιούνται τα ΣΕΣ, ως ένα πλήθος πεπερασμένων μετασχηματισμών, ενώ στη δεύτερη χρησιμοποιούνται τα L-συστήματα ως μια γλώσσα προγραμματισμού που χρησιμοποιεί την ιδιότητα της αυτοομοιότητας.
Στο έκτο κεφάλαιο καταγράφεται η δημιουργική εργασία που πραγματοποιήθηκε στο λύκειο του Ασπροπύργου. Επίσης, επισημαίνεται η παιδαγωγική αξιοποίηση της χρήσης των fractals για τη διδασκαλία μαθηματικών εννοιών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση.
The aim of the following bachelor’s thesis is to present fractals from the analysis point of view, to create them with mathematical and algorithmic tools and finally to develop a teaching proposal for the pedagogical exploitation of their use in secondary education.
This thesis is comprised of six chapters.
In the first chapter, there is a brief historical overview of how fractals have appeared in the mathematical field. Further on, fractals’ basic characteristics are described with the use of their complexity in order to make clear the difference between them and the shapes of Euclidean geometry.
In the second chapter, the basic mathematical concepts of the analysis are presented in order to approach the fractals theoretically in the following chapters.
In the third chapter, the measure of a set is the main subject as it is related to the quantification of mathematical objects. Also the foundations for fractal dimension are laid.
In the fourth chapter, the fractal dimension is studied as a measure of roughness of shape. Various types of dimensions are mentioned at this point. Also importance is attached to the Hausdorff dimension and the box dimension.
In the fifth chapter, fractal objects are created using two methods. In the first, the IFS are used, as a number of finite transformations. In the second, L-systems are used as a programming language using self-similarity.
In the sixth chapter, the creative work that was carried out at the high school of Aspropyrgos is presented. Also the pedagogical exploitation of the use of fractals in teaching mathematical concepts is pointed out as far as secondary education is concerned.
FRACTAL (Θεωρητική προσέγγιση - Κατασκευή - Παιδαγωγική αξία)