Σύστημα εξισώσεων Λορενζ | Lorenz Equations | Χαοτική συμπεριφορά του συστήματος των εξισώσεων Λορενζ | Chaotic Behavior of Lorenz system Equations | Εφαρμογές του Συστήματος Λορενζ | Applications of Lorenz system equations | Χάος | Chaos | Παράξενος ελκυστής | Strange Attractor | Ελκυστής | Attractor | Ελκυστής Λορενζ | Lorenz attractor
1
14
Περιέχει : πίνακες, διαγράμματα, εικόνες
Στο 1ο Κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή του συστήματος των Διαφορικών εξισώσεων Lorenz, παρουσιάζουμε ένα απλό μοντέλο υδροτροχού, βρίσκουμε τις εξισώσεις που το περιγράφουν και γίνεται η σύνδεση με το Σύστημα Lorenz. Ακολουθούμε τα βήματα του Lorenz, στο επόμενο Κεφάλαιο(2ο) αναλύοντας όσο το δυνατόν περισσότερο το σύστημα των εξισώσεων του. Αποδεικνύουμε, ότι όλες οι τροχιές παραμένουν περιορισμένες σε μια οριοθετημένη περιοχή και τελικά προσελκύονται από ένα σύνολο μηδενικού όγκου. Στην συνέχεια (Κεφάλαιο 3ο) χρησιμοποιώντας τεχνικές από τα Διακριτά Δυναμικά Συστήματα, παρουσιάζουμε ένα γεωμετρικό μοντέλο για το σύστημα Lorenz, ορίζουμε τον Ελκυστή, το Χάος και κατά συνέπεια τον Χαοτικό Ελκυστή που εμφανίζεται για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων του συστήματος. Εξερευνούμε τις παραμέτρους και με την βοήθεια του Wolfram Mathematica σχεδιάζουμε τροχιές «παίζοντας» με τις τιμές της παραμέτρου r.
Όλα τα παραπάνω όμως, θα ήταν στείρα γνώση αν δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν. Έτσι στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζουμε εφαρμογές του Συστήματος Lorenz και της νέας ιδέας του χάους, στην Μετεωρολογία, στα Κυκλώματα, στην Κρυπτογραφία, στην Βιολογία-Ιατρική και στην Οικονομία.
In Chapter 1 we introduce the Lorenz equations, we present a simple hydrogen wheel model, we find the equations that describe it and make the connection to Lorenz System. We follow Lorenz’s steps, in Chapter 2, analyzing as much as possible the system of his equations. We prove that all the trajectories remain limited to a bounded area and eventually are attracted by a set of zero volumes.
Then (Chapter 3) using techniques from the Discrete Dynamic Systems, we present a geometric model for the Lorenz system, we define, The Attractor, The Chaos, and hence the Chaotic Attractor which is created for specific values of the system’s parameters. We explore the parameters and with the help of Wolfram Mathematica we design trajectories “playing” with the values of the r parameter.
All the above, however, would be sterile knowledge if they couldn’t be used. So in the last chapter we present applications of the Lorenz System and the new idea of Chaos Theory in Meteorology, Circuits, Cryptography, Biology-Medicine and Economics.
Βασικές Ιδιότητες του Συστήματος Lorenz, Χαοτική Συμπεριφορά και Εφαρμογές