Διαφορικές Μορφές | Differential Forms | Πολλαπλότητες | Manifolds | Ευκλείδιος Χώρος | Euclidean Space
2
6
0
Η παρούσα διπλωματική εργασία ξεκινά από μια διαισθητική προσέγγιση των Διαφορικών Μορφών και της Άλγεβράς τους. Η εισαγωγή στις Διαφορικές Μορφές γίνεται κατ’ αρχήν μέσω των σταθερών μορφών και δείχνουμε μια διαφορετική νόηση από τον συνήθη Διανυσματικό Λογισμό. Θέτουμε για πρώτη φορά τα dx,dy,dz ως συναρτήσεις και όχι ως απείρως μικρά μεγέθη όπως συνηθίσαμε στην Ανάλυση.
Προχωρούμε στην άλγεβρα των μορφών χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τον τανυστικό λογισμό. Με την βοήθεια της «συνήθους λογικής», θέτουμε τις βάσεις για μια άλγεβρα η οποία θα πραγματεύεται τις διαφορικές μορφές ξεκινώντας από τον R^3. Σε αυτό το σημείο καταλήγουμε σε αντιστοιχήσεις με γνώσεις που ήδη έχουμε από Διανυσματικό Λογισμό και δείχνουμε με ποιόν τρόπο οι διαφορικές μορφές αποτελούν εργαλείο προς γενίκευσή τους.
Έπειτα, παρουσιάζουμε την απαιτούμενη ύλη από πολλαπλότητες η οποία θα μας βοηθήσει να θέσουμε τους χώρους στους οποίους μπορούμε να ολοκληρώσουμε μια μορφή και πιο συγκεκριμένα ορίζουμε τους χάρτες, τους Άτλαντες και τις Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες. Ακολουθεί ο τρόπος υπολογισμού των ολοκληρωμάτων των 1,2 και 3 μορφών.
Στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζονται 3 σημαντικά θεωρήματα (θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού, θεώρημα του Gauss, θεώρημα του Green) τα οποία δείχνουμε ότι είναι απλώς περιπτώσεις του Γενικευμένου Θεωρήματος του Stokes και καταλήγουμε στον σκοπό της εργασία η οποία είναι η διασάφηση του δρόμου από τον Διανυσματικό Λογισμό στο γενικευμένο θεώρημα Stokes.
In this thesis, differential forms and their algebra are presented in a intuitive way. In the beginning we are introducing constant forms and we are showing a different perspective than the one in vector calculus. For the first time we are considering dx,dy,dz to be functions and not just infinitesimals as in analysis.
We are presenting the algebra of differential forms without using tensors. Using “common logic” we are trying to establish this algebra in R^3. In this point we are creating a correspondence between differential forms and vector calculus showing the way of generalization of vector calculus through differential forms.
Some notions about Manifolds are introduced in our attempt to present the spaces in which we can integrate differential forms. More specifically we are establishing coordinate maps, atlases and differential manifolds and we showing how to calculate the integrals of 1,2 and 3-forms.
The last chapter deals with three important theorems (fundamental theorem of calculus, Green’s theorem, Gauss’s theorem) only to show that they are merely cases of the Generalized Stokes Theorem. In this point we must have carried out the purpose of this thesis: clarifying the path we take from simple notions from vector calculus to visualize differential forms to Generalized Stokes Theorem.
Πολλαπλότητες και Διαφορικές Μορφές