Thinking About Mathematics / Saphiro S. (2006), Πάτρα: Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών.
Η εργασία αυτή αποτελεί μια διαδρομή μέσα στο χρόνο, από την Ευκλείδεια στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, με βάση την τέχνη, τις κατασκευές, την κίνηση, την πλοήγηση και την αστροπαρατήρηση. Είναι μια ευκαιρία, να βιώσουμε τη Γεωμετρία, και όχι απλώς να τη διδάξουμε μέσα από ορισμούς και προτάσεις, που μοιάζουν αποκομμένες από την καθημερινότητα.
Το θέμα της εργασίας ξεκινάει από τα Μαθηματικά της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, όπου το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι ίσο με 180ο, φτάνει στα Μαθηματικά της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης μελετώντας τρίγωνα με άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο ή μικρότερο των 180ο και σύνθετες έννοιες, όπως η Καμπυλότητα Gauss, και αγγίζει τη Θεωρία της Σχετικότητας και τη Θεωρία του Χάους.
Σκοπός της εργασίας είναι να δώσει την ιστορική εξέλιξη του περάσματος από την “κραταιά” Ευκλείδεια Γεωμετρία, στις άλλες, τις νεότερες Γεωμετρίες, να μελετήσει τους λόγους, που οδήγησαν στην αμφισβήτηση του 5ου Αιτήματος του Ευκλείδη και στη γέννηση των νέων Γεωμετριών, να παραθέσει ιστορικά στοιχεία για όλες τις νέες Γεωμετρίες, να διερευνήσει τις αλλαγές, που συμβαίνουν σε βασικές γεωμετρικές έννοιες, ανάλογα με τη Γεωμετρία, που κάθε φορά χρησιμοποιούμε, να οδηγήσει τους μαθητές, αλλά και τους μελλοντικούς Μαθηματικούς, με τρόπο βιωματικό στον κόσμο των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών.
Επιδίωξη είναι να αντιληφθεί ο αναγνώστης τον διαφορετικό χαρακτήρα των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών σε σύγκριση με την Ευκλείδεια, μέσα από επιστημονικές και καθημερινές εφαρμογές, ώστε να αλλάξει ριζικά τη στάση και τις πεποιθήσεις του σχετικά με τη Γεωμετρία, να μυηθεί ο αναγνώστης-μελετητής σε προβλήματα, που απασχόλησαν την επιστημονική κοινότητα και την οδήγησαν στη χρήση διαφόρων Γεωμετριών ή γεωμετρικών μεθόδων και εφαρμογών, να γνωρίσει εφαρμογές της Γεωμετρίας στην Φυσική, στην Τεχνολογία, στη Φαρμακολογία και την Ιατρική, ή τη χρήση γεωμετρικών σχημάτων, όπως τη χρήση του “περίεργου” τρίγωνου Reuleaux, από τη σχεδίαση ενός μολυβιού μέχρι τη μηχανή ενός αυτοκινήτου, να προσφέρει τη δυνατότητα στον αναγνώστη-μελετητή να ισχυροποιήσει, μέσω της “εποπτείας”, τη μαθηματική και ιδιαίτερα τη γεωμετρική σκέψη και γνώση, μέσα από προβλήματα, που είναι ελκυστικά και στα οποία, όχι μόνο η Ευκλείδεια Γεωμετρία, άλλα και “οι άλλες Γεωμετρίες” κατέχουν ηγετικό ρόλο.
Στο πρώτο κεφάλαιο, ταξιδεύουμε “Στα Μονοπάτια της Ιστορίας”. Η μετάβαση, από την αρχαιοελληνική έννοια των παραλλήλων ευθειών μέχρι τις πιο πρόσφατες ιδέες των μορφοκλασματικών σχημάτων, οριοθετείται από μεγάλες επαναστάσεις και αποτελεί πρόκληση για κάθε ερευνητικό πνεύμα.
Στο δεύτερο κεφάλαιο, γνωρίζουμε “Νέες Παράξενες Γεωμετρίες”, που προέκυψαν μέσα από τις επαναστατικές εξελίξεις, οι οποίες άνοιξαν το δρόμο σε μια σειρά νέες και ενδιαφέρουσες Γεωμετρίες. Καθεμιά από αυτές έχει το μοντέλο της, τον κόσμο μέσα στον οποίο επικρατούν τα αξιώματά της, τον κόσμο, που τελικά την καταξίωσε.
Στο τρίτο κεφάλαιο, βιώνουμε την έννοια της ευθείας, ξεκινώντας από τα “Βήματα του Ευκλείδη”, βλέποντάς την με τη “Ματιά των Πρωτοπόρων Bolyai και Lobachevsky” και καμπυλώνοντάς την μέσα στον “Σφαιρικό Κόσμο του Riemann”. Περπατάμε έναν Κύλινδρο, έναν Κώνο, μια λωρίδα Möbius ή μια φιάλη Klein, αναζητώντας την αίσθηση της ευθύτητας μέσα σε νέους παράξενους κόσμους.
Στο τέταρτο κεφάλαιο, θαυμάζουμε τη σύμπλευση Επιστήμης και Τεχνολογίας, Μαθηματικών και Μηχανικής, που οδήγησε στο σχεδιασμό θαυμαστών μηχανών, από το κυβιστή του Πλάτωνα και τον Μηχανισμό των Αντικυθήρων μέχρι τον αντισυμβατικό κινητήρα Wangel και τα σύγχρονα ρομπότ.
Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, βλέπουμε τον κόσμο μέσα από την ριζοσπαστική οπτική του Mandelbrot και της Fractal Γεωμετρίας του. Αναζητούμε την ομορφιά μέσα στο χάος, ένα ολόκληρο σύμπαν μέσα σε μια σταγόνα νερού, που με τη σειρά του περιέχει μικρότερες σταγόνες νερού, καθεμία από τις οποίες περιέχει ένα σύμπαν …
Το πέρας του ταξιδιού μας οριοθετείται από την συνειδητοποίηση, ότι μια νέα μαθηματική ιδέα αρκεί, ώστε ολόκληρος ο ανθρώπινος πολιτισμός, να περιγραφεί και να κατανοηθεί μέσα από μια νέα ανατρεπτική οπτική.
This Diploma Thesis is a journey through time, from the Euclidean to non-Euclidean Geometries, based on art, construction, motion, navigation and stargazing. It is an opportunity to experience Geometry, and not merely to teach through definitions and propositions, which seem detached from everyday life.
The work begins from secondary school Mathematics, where the sum of the angles of a triangle equals 180o, reaches Mathematics of higher education studying triangles with sum of angles greater or less 180o and complex concepts, such as the Curvature of Gauss, and touches the Theory of Relativity and the Theory of Chaos.
The aim of this work is to give the historical evolution of the passage from the "mighty" Euclidean Geometry, on the others, newer Geometries, to study the reasons which led to the questioning of the 5th Postulate of Euclid and the birth of new Geometries, to provide the historical data for all new Geometries, to explore the changes, occurring in basic geometric concepts, depending on the Geometry we use, to lead students, but also future Mathematicians, to experience the world of non-Euclidean Geometries.
Pursuit is to grasp the reader the different character of non-Euclidean Geometries compared to the Euclidean, through scientific and everyday applications, in order to radically change the attitude and beliefs about Geometry, to initiate the reader-researcher in problems, which the scientific community dealt with and led to the use of various Geometries or geometric methods and applications, to see applications of Geometry in Physics, in Technology, in Pharmacology and Medicine, or to see the use of geometrical shapes, such as the use of “strange” Reuleaux triangle, from the design of a pencil to the engine of a car, to offer the reader-researcher the opportunity to strengthen, through “vision”, the mathematical and highly geometric thinking and knowledge, through problems, which are attractive and in which, not only Euclidean Geometry, but also “other Geometries” hold the lead.
In the first chapter, we travel in “Paths of History”. The transition, from the Ancient Greek concept of parallel lines to the most recent ideas of fractal shapes, is bounded by major revolutions and is challenging for any inquiring mind.
In the second chapter, we meet “New Strange Geometries”, obtained through revolutionary developments, which paved the way to a series of new and interesting Geometries. Each of them has its own model, the world in which its axioms predominate, the world, which finally honored this very Geometry.
In the third chapter, we experience the sense of line, starting from the “Steps of Euclid”, seeing it through the “Look of Pioneers Lobachevsky and Bolyai” and curving it in the “Global World of Riemann”. We walk on a Cylinder, a Cone, a Möbius strip or in a Klein bottle, seeking the sense of straightness within a new strange worlds.
In the fourth chapter, we admire the consistency of Science and Technology, Mathematics and Engineering, which led to the engine fan design, from Cubist of Plato and the Antikythera Mechanism to the “unconventional” Wangel engine and modern robots.
Finally, in the fifth chapter, we see the world through Mandelbrot’s radical visual and Fractal Geometry. We seek the beauty in the chaos, an entire universe in a water
drop, in which smaller water droplets are contained, each of which contains a universe...
The end of our journey is bounded by the realization that a new mathematical idea is enough, for the whole human civilization be described and understood through a new subversive visual.
Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
Main Files
ΑΠΟ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΙΣ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ, ΙΣΤΟΡΙΑ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (ΤΕΧΝΗ, ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ, ΚΙΝΗΣΗ, ΠΛΟΗΓΗΣΗ, ΑΣΤΡΟΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ) - Identifier: 75217
Internal display of the 75217 entity interconnections (Node labels correspond to identifiers)
