Μια εισαγωγή στους συμμετρικούς χώρους

An introduction to symmetric spaces (english)

  1. MSc thesis
  2. Καραγιάννης, Γεώργιος
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 24 September 2017 [2017-09-24]
  5. Ελληνικά
  6. 89
  7. Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας
  8. Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας | Ανούσης, Μιχαήλ
  9. Ομάδα Lie | Συμμετρικοί χώροι | Συμμετρικά ζεύγη | Χώρος πηλίκο | Μορφή Killing | Lie group | Symmetric spaces | Symmetric pairs | Quotient space | Killing form
  10. 2
  11. 8
  12. 0
    • Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία κάνουμε μια εισαγωγή στους συμμετρικούς χώρους, δηλαδή στην ειδική κλάση πολλαπλοτήτων Riemann, για τους οποίους ο τανυστής καμπυλότητος ικανοποιεί τη σχέση, ∇ R=0. Οι συμμετρικοί χώροι αποτελούν μια σημαντική κλάση των ομογενών χώρων, με εφαρμογές στην αλγεβρική και τη διαφορική γεωμετρία και όχι μόνο. Σε αυτή την εργασία μελετάμε τους παραπάνω χώρους τόσο αλγεβρικά όσο και γεωμετρικά. Δίνουμε το αναγκαίο θεωρητικό υπόβαθρο από το χώρο της διαφορικής γεωμετρίας για να κάνουμε τη γεωμετρική περιγραφή. Ξεκινώντας από τους τοπικά συμμετρικούς χώρους, αποδεικνύουμε ότι μια πολλαπλότητα Riemann Μ με συνοχή Levi - Civita ∇, είναι τοπικά συμμετρικός χώρος εάν ο τανυστής καμπυλότητας R, πληροί ∇R=0 και συνεχίζουμε επεκτείνοντας την αρχή αυτή σε όλη την πολλαπλότητα με τη βοήθεια της γεωδαισιακής πληρότητας και του θεωρήματος Hopf - Rinow. Καταλήγουμε στον ορισμό του (ολικά) συμμετρικού χώρου και μελετάμε κάποιες βασικές ιδιότητές του. Κάνουμε ιδιαίτερη αναφορά στις ομάδες Lie, αναφέροντας όλα τα βασικά στοιχεία εκείνα που χρειάζονται ώστε να ταυτίσουμε ένα συμμετρικό χώρο (M,g) , με το χώρο πηλίκο G/K, όπου G, η ομάδα ισομετριών του Μ και Κ η ομάδα ισοτροπίας σε ένα σημείο p∈M. Ορίζουμε τα συμμετρικά ζεύγη και μελετάμε πώς αυτά οδηγούν σε συμμετρικούς χώρους και αντίστροφα. Παραθέτουμε έναν τρόπο ταξινόμησης των συμμετρικών χώρων σε συμπαγούς ή μη συμπαγούς τύπου. Η Διπλωματική Εργασία καταλήγει δίνοντας παραδείγματα συμμετρικών χώρων τόσο γεωμετρικά, μελετώντας βασικές ιδιότητες του χώρου, όσο και αλγεβρικά ως χώρους πηλίκο. Τέλος, παραθέτουμε μια μεθοδολογία κατασκευής συμμετρικών ζευγών και εν συνεχεία συμμετρικών χώρων.
    • In this thesis, we give an introduction to the symmetric spaces, i.e. Riemannian manifolds whose covariant derivative of Riemann curvative tensor, equals to zero i.e. satisfies ∇ R=0. The symmetric spaces are an important class of homogeneous spaces, with many applications in mathematics, both in algebra and differential geometry. In this thesis we study the symmetric spaces from algebraic and geometric point of view. We give the necessary theoretical background from the field of differential geometry to make the geometric description. Starting from locally symmetrical spaces, we prove that a manifold M is locally symmetric space if the curvature tensor R satisfies ∇ R=0 and we continue extending the definition to manifolds which are geodesical complete using the Hopf - Rinow theorem. We give the definition of a (global) symmetric space and study some of its basic properties. We recall some theory about Lie groups, and we describe how a symmetric space (M,g) can be seen as a homogeneous space G/K, i.e. the quotient of its isometry group G and a isotropy group K at a point p∈M. We give the definition of symmetric pair and study how this lead to a symmetric space and vice - versa. We provide a method of classifying symmetric spaces into compact or non-compact type. We conclude by giving examples of symmetric spaces both geometrically, and algebraically. Finally, we provide a methodology for producing symmetric pairs.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.