άλυτα προβλήματα αρχαιότητας | τετραγωνισμός του κύκλου | διπλασιασμός του κύβου | τριχοτόμηση γωνίας | κατασκευή κανονικών πολυγώνων | αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί | ανάγωγο πολυώνυμο | ελάχιστο πολυώνυμο
1
6
7
Περιέχει Εικόνες και Σχήματα
Η Μαθηματική Επιστήμη θεμελιώθηκε σε μία προσπάθεια διερεύνησης της φύσης και των φαινομένων της, καθώς και της επίλυσης πρακτικών προβλημάτων που θα διευκόλυναν τη ζωή των ανθρώπων. Αυτός ο προσανατολισμός συναντάται ήδη σε άλλους πολιτισμούς, όπως των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων, όμως η συστηματοποίηση της μαθηματικής σκέψης και οι μέθοδοι που βασίζονται στη λογική κάνουν την εμφάνισή τους στην Αρχαία Ελλάδα. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί διαδραμάτισαν καθοριστικό ρόλο, στην εξέλιξη των Μαθηματικών και στην πρόοδο της Μαθηματικής Επιστήμης. Παρά, όμως, τις εκπληκτικές τους δυνατότητες σε σχέση με τα ελάχιστα μέσα της εποχής, υπήρξαν τρία προβλήματα που απασχόλησαν τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες, χωρίς αυτοί να καταφέρουν να διατυπώσουν λύσεις με αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη.
Η παρούσα εργασία, ασχολείται με την ιστορική και τη μαθηματική θεώρηση των άλυτων προβλημάτων της Αρχαιότητας. Στο πρώτο μέρος αποτυπώνεται η ιστορική εξέλιξη των προβλημάτων αυτών και καταγράφονται οι προσπάθειες που έχουν καταβληθεί για την επίλυσή τους έως σήμερα. Τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου, του διπλασιασμού του κύβου, της τριχοτόμησης τυχαίας γωνίας, αναλύονται με βάση τις απόπειρες Ελλήνων, αλλά και εκπροσώπων άλλων λαών της αρχαιότητας, όπως και μεταγενέστερων εποχών, να αναπτύξουν τους προβληματισμούς τους σχετικά με την επίλυσή τους, ενώ πέρασαν πολλοί αιώνες μέχρι να αποδειχθεί το αδύνατο μίας τέτοιας επίλυσης μόνο με τη χρήση κανόνα και διαβήτη. Επιπλέον, γίνεται αναφορά στα προβλήματα των κανονικών πολυγώνων και των γεωμετρικών κατασκευών που, επίσης, μονοπώλησαν το ενδιαφέρον αρχαίων, αλλά και μεταγενέστερων μαθηματικών.
Το δεύτερο μέρος της εργασίας αφορά στην απόδειξη του άλυτου των παραπάνω προβλημάτων. Η διεξοδική αναφορά στο αλγεβρικό υπόβαθρο αποσκοπεί στην αποτελεσματικότερη προσέγγισή τους, ενώ ιδιαίτερη αναφορά γίνεται στη συμβολή του Gauss στη διατύπωση ενός κριτηρίου, βάσει του οποίου αποφαίνεται εάν ένα κανονικό πολύγωνο είναι κατασκευάσιμο ή όχι με χρήση κανόνα και διαβήτη. Γίνεται επίσης αναφορά στη συμβολή κορυφαίων Ευρωπαίων μαθηματικών, οι οποίοι έθεσαν τα θεμέλια για τις σύγχρονες αλγεβρικές και γεωμετρικές θεωρίες.
Mathematical Science was founded in an effort to explore nature and its phenomena and to solve practical problems that would facilitate human life. This orientation is already found in other civilizations, such as the Egyptians and Babylonians, but the systematization of mathematical thought and methods based on logic make their appearance in Ancient Greece. The ancient Greek mathematicians played a decisive role in the development of mathematics and the advancement of science. However, despite their astonishing capabilities in relation to the minimal means of the time, there were three problems that preoccupied the ancient geometers without being able to formulate acceptable solutions.
This work, therefore, deals with the historical and mathematical view of the unsolved problems of Antiquity. The first part reflects the historical development of these problems and records the efforts that have been made to solve them to date. The squaring of the circle, the doubling of the cube, the trisecting of an angle are analyzed based on the attempts of Greeks, but also representatives of other peoples of antiquity, as well as later times, to develop their concerns about their solution, while many centuries passed until to prove the impossibility of solving them only with the use of ruler and compass. In addition, reference is made to the problems of regular polygons and geometric structures that also monopolized the interest of ancient and later mathematicians.
The second part of the work concerns the proof of the solution of the above problems. The detailed reference to the algebraic background aims at their most effective approach, with particular reference to Gauss’ solution to the problem of constructing regular polygons using ruler and compass, as well as to the contribution of leading European mathematicians who laid the foundations for modern algebraic and geometric theories.
Τα Άλυτα Προβλήματα της Αρχαιότητας. Ιστορική και Μαθηματική Θεώρηση