Το γινόμενο δύο συμπαγών τοπολογικών χώρων είναι πάλι συμπαγής τοπολογικός χώρος και επαγωγικά έπεται ότι το γινόμενο πεπερασμένου πλήθους συμπαγών χώρων είναι πάντα συμπαγής τοπολογικός χώρος. Σύμφωνα με τη διαίσθησή μας για την έννοια της συμπάγειας αναμένουμε το αντίθετο για άπειρα γινόμενα. Ο λόγος είναι ότι η συμπάγεια είναι μια “πεπερασμένη” ιδιότητα, οπότε δε μας εκπλήσσει το γεγονός ότι μεταφέρεται σε χώρους οι οποίοι προκύπτουν από πεπερασμένα γινόμενα. Όμως δεν αναμένει κανείς το ίδιο για άπειρα γινόμενα, αλλά η διαίσθησή μας δεν αληθεύει σύμφωνα με το επόμενο θεώρημα.
Θεώρημα (Tychonoff 1930) Αν(X_i )_(i∈I) είναι μια οικογένεια συμπαγών τοπολογικών χώρων, τότε το γινόμενο ∏_(i∈I)▒Χ_i είναι επίσης τοπολογικός χώρος.
Αξίζει να σημειώσουμε ότι όλες οι αποδείξεις του θεωρήματος Tychonoff χρησιμοποιούν το Λήμμα του Zorn.
Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε το Θεώρημα Tychonoff και ορισμένες εφαρμογές του στη Γενική Τοπολογία και στη Συναρτησιακή Ανάλυση.
Η πρώτη είναι η ύπαρξη της Stone- Čech συμπαγοποίησης βX ενός τελείως κανονικού τοπολογικού χώρου X, η οποία με κάποια έννοια είναι η “μεγαλύτερη” συμπαγοποίηση, αφού μπορεί να χαρακτηρισθεί από την εξής ιδιότητα: Κάθε συνεχής συνάρτηση από το χώρο X σε ένα συμπαγή χώρο Hausdorff μπορεί να επεκταθεί στη συμπαγοποίηση βX.
Η δεύτερη εφαρμογή του θεωρήματος είναι το θεώρημα Banach – Alaoglu, σύμφωνα με το οποίο η μοναδιαία μπάλα B_(X^* ), ενός χώρου με νόρμα X, εφοδιασμένη με την ασθενή άστρο τοπολογία w^* είναι συμπαγής. Μια άμεση συνέπεια του θεωρήματος Banach – Alaoglu είναι ο χαρακτηρισμός των w^* συμπαγών υποσυνόλων του δυϊκού χώρου X^* ενός χώρου Banach X. Συγκεκριμένα, αν X είναι ένας χώρος Banach, τότε ένα υποσύνολο του X^* είναι w^*- συμπαγές, αν και μόνον αν είναι w^*- κλειστό και φραγμένο.
The product of two compact topological spaces is again compact and by induction it follows that the product of finitely many compact spaces is always compact. Our intuition of the notion of compactness would suggest the opposite for infinite products. For compactness is a finiteness property and so it is not surprising that it is carried over to spaces obtained by finite products; but we do not expect that a product of infinitely many compact spaces is also compact. But this is not the case as following theorem states.
Theorem (Tychonoff 1930) If (X_i )_(i∈I) is a family of compact topological spaces, then the product ∏_(i∈I)▒Χ_i is also a compact space.
It is remarkable that all proofs of the previous theorem use Zorn’s lemma.
In this master thesis we study the Tychonoff’s theorem and some consequences of it in general topology and functional analysis.
The first one is the existence of Stone-Cech compactification βX of a completely regular space X. In a sense it is the biggest compactification; it can be characterized by the property that every continuous map of X into a compact Hausdorff space can be extended to βX.
The second one is the Banach – Alaoglu theorem according to which the unit ball B_(X^* ) of a normed space X endowed with the w^* topology is compact. An immediate consequence of the Banach – Alaoglu theorem is the characterization of the
w^* compact subsets of a dual space X^* when X is a Banach space.
Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
Κύρια Αρχεία Διατριβής
ΘΕΩΡΗΜΑ TYCHONOFF ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - Identifier: 75161
Internal display of the 75161 entity interconnections (Node labels correspond to identifiers)
