Απόδειξη της υπερβατικότητας και εφαρμογές

Proof of transcedence and applications (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Κολοβού, Ευθυμία
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 30 Σεπτεμβρίου 2018 [2018-09-30]
  5. Ελληνικά
  6. 107
  7. Βλάμος, Παναγιώτης
  8. Ανούσης, Μιχαήλ
  9. Υπερβατικοί αριθμοί | Transcendental numbers | Αριθμοί Liouville | Liouville’s numbers | Συνεχή κλάσματα | Continued fractions | Προσέγγιση του π ή του e | Approximation pi or e | Λογαριθμική σπείρα | Logarithmic spiral
  10. 15
  11. 31
  12. Περιέχει : πίνακες, σχήματα, εικόνες
    • Στην παρούσα διπλωματική επιχειρείται η μελέτη των υπερβατικών αριθμών με έμφαση στους υπερβατικούς π και e. Έγινε προσπάθεια να απαντηθούν ερωτήματα όπως: Ποιοι είναι , πόσοι υπάρχουν, πως προέκυψαν, αν είναι αριθμήσιμοι, ποιοι μαθηματικοί πότε και γιατί ασχολήθηκαν μ΄ αυτούς και βέβαια γίνεται ιδιαίτερη αναφορά στους υπερβατικούς π και e στοχεύοντας να αναδειχθεί η σπουδαιότητά τους. Το πρώτο κεφάλαιο αφορά τον υπερβατικό αριθμό π. Πολλοί σπουδαίοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν επί αιώνες με τη μελέτη του αριθμού αυτού και κατά κύριο λόγο με το κυνήγι των ψηφίων του αφού υπήρχε πάντα η κρυφή ελπίδα ότι η διαδοχή των ψηφίων του ίσως έφτανε σε κάποιο τέλος. Παρουσιάζονται οι προσπάθειες τους να προσεγγίσουν το π από την αρχαιότητα μέχρι τις μέρες μας καθώς και οι διαφορετικές μέθοδοι που ακολούθησαν. Τέλος παρουσιάζονται αποδείξεις που αφορούν την αρρητότητα καθώς και την υπερβατικότητα του π. Με την απόδειξη της υπερβατικότητας του Lindemann λύνεται οριστικά και το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου που απασχόλησε τους μαθηματικούς για αιώνες. Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά τον υπερβατικό αριθμό e. Αν και εμφανίζεται εξίσου συχνά με τον π είναι ένας «νέος» αριθμός με ιστορία περίπου 300 ετών. Αρχικά τον συναντάμε μάλλον ως προϊόν πειραματικής παρατήρησης παρά αυστηρής μαθηματικής επαγωγής ως όριο συγκεκριμένης ακολουθίας σε προβλήματα ανατοκισμού. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι προσπάθειες σπουδαίων μαθηματικών όπως του Bernoulli και του Euler να προσεγγίσουν τον αριθμό αυτό. Τέλος παρατίθενται αποδείξεις της αρρητότητας καθώς και της υπερβατικότητας του e. Το τρίτο κεφάλαιο αφορά γενικά τους υπερβατικούς. Αρχικά γίνεται αναφορά στη διάκριση αλγεβρικών και υπερβατικών. Ο Georg Cantor ασχολούμενος με τους αριθμούς αυτούς αποδεικνύει την ύπαρξή τους καθώς και τη μη αριθμησιμότητα του συνόλου τους. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στη σπουδαία συνεισφορά του J.Liouville ο οποίος τους μελέτησε διατυπώνοντας και αποδεικνύοντας πολλά ενδιαφέροντα θεωρήματα και δημιούργησε τους πρώτους «τεχνητούς» υπερβατικούς αριθμούς. Το κεφάλαιο κλίνει με παρατηρήσεις-συμπεράσματα σχετικά με τους αριθμούς αυτούς. Τέλος το τέταρτο κεφάλαιο αφορά εφαρμογές και χρήσεις των υπερβατικών αλλά και που τους συναντάμε στη φύση και την ζωή.
    • This diploma thesis attempts to study transcendental numbers with emphasis on transcendentals π and e. An attempt has been made to answer questions such as: Which are they, how many are there, how they came about, whether they are countable, which mathematicians, and why they, worked with these numbers, and, of course, special mention is made of the transcendentals π and e aiming to highlight their importance. The first chapter concerns the transcendent number π. Many great mathematicians have been studying this number for centuries primarily searching its decimal digits, as there has always been the hidden hope that the succession of its decimal digits could come to an end. Their attempts to approach π from antiquity to the present day, as well as the different methods they followed, are presented. Finally, proofs are presented concerning the irrationality as well as the transcendence of π. By demonstrating Lindemann's transcendence, the problem of squaring the circle that has occupied mathematicians for centuries is definitively solved. The second chapter concerns the transcendental number e. Although it appears as often as π is a "new" number with a history of about 300 years. We first find it as a product of experimental observation rather than strict mathematical induction as the limit of a particular sequence to compounding problems. Below are the attempts of great mathematicians such as Bernoulli and Euler to approach this number. Finally, proofs are presented on the irrationality as well as the transcendence of e. The third chapter concerns transcendentals in general. Initially, reference is made to the distinction between algebraic and transcendental numbers. Georg Cantor dealing with these numbers proves their existence as well as the non-countability of their set. Next, reference is made to the great contribution of J. Liouville who studied them and formulated and proved many interesting theorems and created the first "artificial" transcendental numbers. The chapter ends with observations and conclusions about these numbers. Finally, the fourth chapter concerns applications and uses of transcendentals but also examples of their existance in nature and life.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.