Ημιαπλές άλγεβρες Lie και ο μηδενοδύναμος κώνος τους

semi-simple Lie algebras and their nilpotent cone (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Τζιτζίδης, Στέφανος
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 29 Σεπτεμβρίου 2018 [2018-09-29]
  5. Ελληνικά
  6. 68
  7. Ανούσης, Μιχάλης
  8. Ανούσης , Μιχάλης | Παπαδόπουλος, βασίλειος
  9. Άλγεβρα Lie | Μηδενοδύναμες | Ειδική γραμμική άλγεβρα lie | Ημιαπλές άλγεβρες Lie | Jordan Blocks | Διαμέριση | Ταξινόμηση
  10. 2
  11. 3
  12. 0
  13. Γραμμική Άλγεβρα /Μ.Ανούσης ,ΕΔΥ ΕΑΠ 2014
    • Σκοπός της εργασίας είναι η ταξινόμηση των μηδενοδύναμων κλάσεων ισοδυναμίας (τροχιών) της ειδικής άλγεβρας Lie 𝔰𝔩(𝑛,ℂ) τύπου 𝐴𝑛. Δίνεται μια περιγραφή των βασικών εννοιών και θεωρημάτων που διέπουν τις άλγεβρες Lie καθώς και παραδείγματα αυτών. Επεκτείνοντας τη μελέτη περιγράφονται οι μηδενοδύναμες -επιλύσιμες–ημιαπλές άλγεβρες Lie με στόχο την ταξινόμησή των κλάσεων ισοδυναμίας (τροχιών) του συνόλου των μηδενοδύναμων στοιχείων της Ειδικής γραμμικής άλγεβρας Lie 𝔰𝔩(𝑛,ℂ) . Η παρούσα εργασία αποτελείται από τρία μέρη (Κεφάλαια). Στο πρώτο κεφάλαιο και συγκεκριμένα στις παραγράφους 1.1, 1.3, 1.4, δίνονται οι βασικές έννοιες των αλγεβρών - υποαλγεβρών, ομομορφισμών και παραγωγίσεων των αλγεβρών Lie, ενώ στην παράγραφο 1.2 περιγράφονται οι κλασικές άλγεβρες Lie: γενική γραμμική 𝔤𝔩(𝑛,ℂ), ειδική γραμμική 𝔰𝔩(𝑛,ℂ), ορθογώνια 𝔰𝔬(𝑛,ℂ), και συμπλεκτική 𝔰𝔭(𝑛,ℂ), οι οποίες είναι άλγεβρες Lie πινάκων. Τέλος στις παραγράφους 1.5 και 1.6 αναφέρεται η βασική θεωρία των ιδεωδών καθώς και της άλγεβρας πηλίκο. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μελέτη των μηδενοδύναμων-επιλύσιμων-ημιαπλών αλγεβρών Lie. Παρατίθεται η βασική θεωρία και αποδεικνύεται ότι κάθε μηδενοδύναμη είναι και επιλύσιμη. Βασικά παραδείγματα των επιλύσιμων αλγεβρών Lie είναι οι άνω τριγωνικοί πίνακες ενώ των μηδενοδύναμων οι αυστηρά άνω τριγωνικοί. Στην παράγραφο 2.3 δίνεται ο ορισμός των ημιαπλών αλγεβρών Lie μέσω του μεγιστικού ιδεώδους (Ριζικό) της άλγεβρας Lie. Στην 2.4 αποδεικνύονται τα βασικά θεωρήματα δομής των αλγεβρών Lie, τα θεωρήματα Engel και Lie. Τέλος αποδεικνύεται το κριτήριο ημιαπλότητας του Cartan και δίνονται παραδείγματα ημιαπλότητας μέσω αυτού. Στο τρίτο κεφάλαιο αφού γίνει μια υπενθύμιση της ταξινόμησης των κλάσεων ισοδυναμίας των μηδενοδύναμων πινάκων μέσω των μορφών Jordan (3.1) στη συνέχεια μελετάται το σύνολο των ad-μηδενοδύναμων στοιχείων της ειδικής γραμμικής άλγεβρας Lie. Αφού παρατεθούν τα βασικά εργαλεία για την ταξινόμηση αυτή, διαμερίσεις οι οποίες γενικεύουν την ταξινόμηση Jordan, θα ταξινομήσουμε τις μηδενοδύναμες κλάσεις ισοδυναμίας (τροχιές) της ειδικής άλγεβρας Lie 𝔰𝔩(𝑛,ℂ) τύπου 𝐴𝑛.
    • The aim of the study is the classification of the conjucasy classes of the special linear algebra Lie 𝔰𝔩(𝑛,ℂ)of type An. Τhe basic mathematical concepts and theorems that govern the Lie algebra as well as examples of these are described. Taking the study further, the nilpotent -solvable- semi-simple Lie algebras are explained aiming at classifying the orbits of the whole of the nilpotent elements of the Special linear algebra Lie. The study comprises of three chapters. In the first chapter, and specifically in the paragraphs 1.1, 1.3 and 1.4, the basic concepts of algebras and sub-algebras, homomorphism and derivative of Lie algebras are explained while in paragraph 1.2 a description of the classic Lie algebras is given i.e general linear algebra 𝔤𝔩(𝑛,ℂ), special linear algebra 𝔰𝔩(𝑛,ℂ), orthogonal 𝔰𝔬(𝑛,ℂ) and symplectic 𝔰𝔭(𝑛,ℂ), all of which are matrix Lie algebras. The basic ideal theorem and the quotient algebra are described in paragraphs 1.5 and 1.6. The nilpotent solvable semi-simple Lie algebras are studied in the second chapter of the study. The basic theory is explained and is demonstrated that every nilpotent algebra is also solvable. The triagonal matrixes are the main examples of the solvable Lie algebras while the nilpotent are strictly triagonal. Pragraph 2.3 provides the definition of semi-simple Lie algebras through the radical of Lie algebras. In 2.4 the basic structural theorems of Lie algebras, Engel and Lie theorems are demonstrated. Cartan semi-simplicity criterion is also demonstrated along with examples of semi-simplicity through this theorem. Finally, in the third chapter, following a brief review of the classification of equivalence classes of the nilpotent matrixes through Jordan forms(3.1), all of the ad-nilpontent elements of the special linear Lie algebra are studied. After demonstratingthe basic tools for the aforementioned classification, ie the partitions that generalise the Jordan classification, the conjucasy classes(orbits) of type An special Lie algebras 𝔰𝔩(𝑛,ℂ) are classified.
  15. Attribution-NoDerivatives 4.0 Διεθνές