Διπολικές Διεγέρσεις Τμηματικά Ομογενών Σκεδαστών και Εφαρμογές

Dipole Excitations of Piecewise Homogeneous Scatterers and Applications (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. ΚΑΛΟΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 30 Σεπτεμβρίου 2018 [2018-09-30]
  5. Ελληνικά
  6. 163
  7. ΤΣΙΤΣΑΣ, ΝΙΚΟΛΑΟΣ
  8. ΤΣΙΤΣΑΣ, ΝΙΚΟΛΑΟΣ | ΚΑΡΙΩΤΟΥ, ΦΩΤΕΙΝΗ
  9. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις | Partial Differential Equations | Θεωρία Σκέδασης | Scattering Theory | Ηλεκτρομαγνητικά Πεδία | Electromagnetic Fields | Κυματική Διάδοση | Wave Propagation | Αντίστροφη Σκέδαση | Inverse Scattering | Διπολικές Διεγέρσεις | Dipole Excitations
  10. 2
  11. 4
  12. 24
  13. Πίνακας σχημάτων Σχήμα 1: Πολυστρωματικός σφαιρικός σκεδαστής που διεγείρεται από δύο δίπολα στο εσωτερικό του 48 Σχήμα 2: Διέγερση σφαιρικού σκεδαστή από δίπολο τοποθετημένο στο εσωτερικό του 58 Σχήμα 3: Τα δίπολα είναι τοποθετημένα στο 1ο στρώμα του σφαιρικού σκεδαστή 84 Σχήμα 4: Τα δίπολα είναι τοποθετημένα στο 2ο στρώμα του σφαιρικού σκεδαστή 92 Σχήμα 5: Τα δίπολα είναι τοποθετημένα σε διαφορετικά στρώματα του σφαιρικού σκεδαστή 99 Γράφημα 1: Η μέγιστη θέση του ισοδύναμου διπόλου ως συνάρτηση του β, όταν το δίπολο που βρίσκεται πιο κοντά στο σύνορο του σκεδαστή, βρίσκεται σε απόσταση μικρότερη του 0.5a 138 Γράφημα 2: Η μέγιστη θέση του ισοδύναμου διπόλου ως συνάρτηση του β, όταν το δίπολο που βρίσκεται πιο κοντά στο σύνορο του σκεδαστή, βρίσκεται σε απόσταση μεγαλύτερη του 0.5a 138 Γράφημα 3: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης για την περίπτωση μεγάλης αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, ως συνάρτηση του κ 140 Γράφημα 4: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 140 Γράφημα 5: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης για την περίπτωση μεσαίας αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, ως συνάρτηση του κ 141 Γράφημα 6: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 141 Γράφημα 7: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης για την περίπτωση μικρής αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, ως συνάρτηση του κ 141 Γράφημα 8: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 142 Γράφημα 9: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης με μεσαίες φυσικές παραμέτρους για την περίπτωση μεγάλης αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, ως συνάρτηση του κ 142 Γράφημα 10: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 142 Γράφημα 11: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης με μεσαίες φυσικές παραμέτρους για την περίπτωση μεσαίας αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, ως συνάρτηση του κ 143 Γράφημα 12: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 143 Γράφημα 13: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης με μεσαίες φυσικές παραμέτρους για την περίπτωση μικρής αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, ως συνάρτηση του κ 143 Γράφημα 14: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 144 Γράφημα 15: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης για την περίπτωση μεγάλης αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, με ισχυρές φυσικές παραμέτρους ως συνάρτηση του κ 144 Γράφημα 16: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 144 Γράφημα 17: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης για την περίπτωση μεσαίας αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, με ισχυρές φυσικές παραμέτρους, ως συνάρτηση του κ 145 Γράφημα 18: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 145 Γράφημα 19: Το ποσοστό της απόκλισης των διατομών σκέδασης για την περίπτωση μικρής αναλογίας στη θέση των δύο διπόλων, με ισχυρές φυσικές παραμέτρους, ως συνάρτηση του κ 145 Γράφημα 20: Το ποσοστό των όρων του κ2 και του κ4 επί της ολικής διατομής σκέδασης 146 Γράφημα 21: Διαφορά διατομών σκέδασης για όλες τις περιπτώσεις παραμέτρων όταν r1=0.5a και β=0.9 147 Γράφημα 22: Διαφορά διατομών σκέδασης για όλες τις περιπτώσεις παραμέτρων όταν r1=0.9a και β=0.1 147 Γράφημα 23: Διαφορά διατομών σκέδασης για όλες τις περιπτώσεις παραμέτρων όταν r1=0.3a και β=0.6 148 Γράφημα 24: Αναλογία διατομών σκέδασης μεταξύ ισχυρών και ασθενών παραμέτρων 148 Γράφημα 25: Αναλογία διατομών σκέδασης μεταξύ μεσαίων και ασθενών παραμέτρων 148
  14. Γ. Δάσσιος, Ειδικά Θέματα Μαθηματικών, Τόμος Β2', Μαθηματικά Πρότυπα Ιατρικής Φυσικής, Πάτρα: Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, 2013
    • Σε αυτή την εργασία ασχολούμαστε με τις διπολικές διεγέρσεις ενός τμηματικά ομογενούς σκεδαστή. Η Θεωρία Σκέδασης έχει αναπτυχθεί πολύ κατά τα τελευταία χρόνια, από διάφορους ερευνητές τόσο στην Ελλάδα όσο και στο εξωτερικό, κυρίως λόγω της έκτασης και των δυνατοτήτων που προσφέρουν οι τεχνολογικές εφαρμογές της, σε διάφορους τομείς της καθημερινής ζωής. Ενδεικτικά αναφέρουμε: τις εφαρμογές στην κινητή τηλεφωνία όπου το μοντέλο της σκέδασης ηλεκτρομαγνητικού πεδίου παραγόμενο από εξωτερική σημειακή πηγή, από σφαιρικό ή ελλειπτικό σκεδαστή, προσομοιάζει αρκετά την απορρόφηση ακτινοβολίας από το ανθρώπινο κεφάλι, την εφαρμογή στην μαγνητοεγκεφαλογραφία και την ηλεκτροεγκεφαλογραφία μέσω της σκέδασης των παραγόμενων μαγνητικών και ηλεκτρικών πεδίων από τους νευρώνες του εγκεφάλου, όπως αναπτύχθηκε στο έργο των Α. Φωκά, Γ. Δάσσιου και των συνεργατών τους [1],·τον προσδιορισμό αντικειμένων που βρίσκονται θαμμένα μέσω τεχνικών ηλεκτρομαγνητικής σκέδασης [2],· τις εφαρμογές στην ιατρική (υπερθερμία, βιοτηλεμετρία) από την εμφύτευση αντενών στο ανθρώπινο σώμα [3] κ.α. Σε αυτή την εργασία, θα ασχοληθούμε κυρίως με προβλήματα σκέδασης από δίπολα που βρίσκονται στο εσωτερικό του σκεδαστή, με χαρακτηριστικότερες εφαρμογές την εισαγωγή κεραιών στο ανθρώπινο σώμα για ιατρικούς σκοπούς. Ο υπολογισμός των ολικών και των σκεδασμένων ηλεκτρικών πεδίων ανάγεται στην επίλυση 2×2 γραμμικών συστημάτων μέσω μιας συνδυασμένης μεθόδου T-Matrix και Sommerfeld. Η συνήθης διαδικασία υπολογισμού, όπως αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από τον Peter Waterman στην [4] (δύο ακόμη παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου είναι οι [5], [6]), συνίσταται στην ανάπτυξη των πρωτευόντων και σκεδαζόμενων ηλεκτρικών πεδίων (όπως υπαγορεύει η μέθοδος Sommerfeld) σε σειρές των σφαιρικών διανυσματικών κυματικών συναρτήσεων και στην εφαρμογή μιας T-Matrix μεθόδου για τον προσδιορισμό των αγνώστων συντελεστών στα εν λόγω αναπτύγματα. Αυτό επιτυγχάνεται με το να ανάγουμε τον υπολογισμό όλων των συντελεστών, στον υπολογισμό των συντελεστών του αναπτύγματος του ολικού εξωτερικού πεδίου. Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερα από ένα δίπολα, η συνήθης διαδικασία είναι ο υπολογισμός των άγνωστων συντελεστών για κάθε δίπολο χωριστά και ακολούθως μέσω της υπέρθεσης των ολικών πεδίων γίνεται ο υπολογισμός για τους άγνωστους συντελεστές της υπέρθεσής τους. Σε αυτή την εργασία, τροποποιούμε την συνήθη αυτή διαδικασία, για αυθαίρετο αριθμό διπόλων που βρίσκονται τοποθετημένα στο εσωτερικό ενός πολυστρωματικού, σφαιρικού σκεδαστή. Ορίζουμε τους τελεστές διέγερσης και τους τελεστές στρώματος μέσω των οποίων επιτυγχάνουμε την αναγωγή του υπολογισμού τόσο των επιμέρους όσο και των ολικών συντελεστών σε μια μορφή, πανομοιότυπη με αυτή για τον υπολογισμό των συντελεστών ενός μόνο διπόλου. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου, που την ονομάζουμε Μέθοδο Ολικής Υπέρθεσης, είναι ότι επιτυγχάνεται ο υπολογισμός τόσο των επιμέρους συντελεστών, όσο και των συντελεστών της υπέρθεσης των εμπλεκόμενων πεδίων, με μόνο μία εφαρμογή του συνήθους αλγόριθμου. Όπως γίνεται φανερό και από την αναγωγή στο πεδίο των χαμηλών συχνοτήτων αυτή η τροποποίηση της μεθόδου, οδηγεί στον ταχύτερο υπολογισμό των ηλεκτρικών πεδίων, όπως και στη δυνατότητα εξαγωγής αναγωγικών τύπων με αρκετά απλούστερο τρόπο. Επιπλέον, παρέχεται η δυνατότητα τροποποίησης των τύπων ώστε να αντιμετωπίζονται με μεγαλύτερη ευχέρεια ορισμένα αντίστροφα προβλήματα σκέδασης. Στο 1ο κεφάλαιο αναπτύσσεται η βασική θεωρία σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, από τις εξισώσεις Maxwell έως και την προκύπτουσα διανυσματική Μ.Δ.Ε. Helmholtz. Ακόμη, αποδεικνύονται τα σημαντικότερα θεωρήματα σκέδασης για τους βασικούς τύπους σκεδαστών καθώς και για την περίπτωση πολυστρωματικού σκεδαστή. Στο 2ο κεφάλαιο επιλύουμε το γενικό πρόβλημα διέγερσης από Λ δίπολα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία στο εσωτερικό ενός πολυστρωματικού, τμηματικά ομογενούς, σφαιρικού σκεδαστή με διηλεκτρικά στρώματα. Συγκεκριμένα, εξάγονται τα αποτελέσματα για τις περιπτώσεις διηλεκτρικού και τέλεια αγώγιμου πυρήνα πρώτα για την περίπτωση όπου Λ=2 και έπειτα γενικεύοντας, παίρνουμε τα αποτελέσματα για την περίπτωση όπου Λ>2. Για αυτό το σκοπό βρίσκουμε τη δυαδική συνάρτηση Green ελευθέρου χώρου, που αποτελεί τη θεμελιώδη λύση υπό την έννοια των κατανομών της διανυσματικής Μ.Δ.Ε. Helmholtz, όπως και τις σφαιρικές διανυσματικές κυματικές συναρτήσεις που αποτελούν μια πλήρη βάση για το χώρο λύσεων της τροποποιημένης Μ.Δ.Ε. Helmholtz [7]. Μέσω των σφαιρικών διανυσματικών κυματικών συναρτήσεων εξάγουμε τα αναπτύγματα των εμπλεκόμενων πρωτευόντων, σκεδασμένων και ολικών πεδίων και επιλύουμε το ευθύ πρόβλημα της σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που παράγονται από δύο δίπολα στο εσωτερικό ενός σφαιρικού, ομογενούς, διηλεκτρικού σφαιρικού σκεδαστή. Στη συνέχεια, αναπτύσσουμε τη Μέθοδο Ολικής Υπέρθεσης και ορίζουμε τους τελεστές διέγερσης και τους τελεστές στρώματος που ορίζονται σαν το άθροισμα γραμμικών συναρτησοειδών, τροποποιώντας μέσω αυτών τη συνήθη συνδυασμένη μέθοδο Sommerfeld / T-Matrix. Αυτή η μέθοδος – και κυρίως η χρήση των τελεστών διέγερσης – μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν θεωρητικό μοντέλο που θα επιτρέψει και θα διευκολύνει την επίλυση και άλλων προβλημάτων σκέδασης, όπου τα δίπολα βρίσκονται σε αυθαίρετη θέση εντός ή εκτός, ενός πολυστρωματικού σκεδαστή. Στο 3ο κεφάλαιο εξάγουμε τους γενικούς τύπους για το πεδίο χαμηλών συχνοτήτων για το πρόβλημα ενός σφαιρικού 3- στρωματικού σκεδαστή με δύο δίπολα τοποθετημένα στο εσωτερικό του, εκτός του πυρήνα. Μέσω αυτών των αποτελεσμάτων επιλύουμε αντίστροφα προβλήματα σκέδασης εντοπισμού πηγών, εύρεσης γεωμετρικών χαρακτηριστικών και εύρεσης των φυσικών παραμέτρων του σκεδαστή. Τέλος, στο 4ο κεφάλαιο ερευνάται η δυνατότητα η υπέρθεση των ολικών πεδίων δύο διπόλων που βρίσκονται στο εσωτερικό του σκεδαστή, να έχει ίσο μακρινό πεδίο με το ολικό ηλεκτρικό πεδίο που διεγείρεται από ένα δίπολο – το οποίο ονομάζουμε ισοδύναμο δίπολο– τοποθετημένο στην ίδια ευθεία με τα ήδη υπάρχοντα δίπολα. Συγκεκριμένα, εξάγονται οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε μια τέτοια ισοδυναμία να είναι εφικτή για όλες τις βασικές περιπτώσεις για τη θέση του ισοδύναμου διπόλου. Έπειτα, στο πεδίο των χαμηλών συχνοτήτων, εξάγουμε προσεγγίσεις για τη θέση του ισοδύναμου διπόλου, ώστε το ποσοστό της απόκλισης των δύο διατομών σκέδασης να είναι το μικρότερο δυνατό.
    • This diploma thesis investigates the dipole excitations of a spherical, piecewise homogeneous scatterer. Scattering theory has been developed substantially in recent years from various researchers both in Greece and abroad. This is caused by the vast variety of its technological implementation, in many sectors of everyday life. Most known are its applications in: cell telephony, where the problem of exterior spherical wave scattering by a sphere or an ellipsoid describes accurately radiation absorption by the human head; magnetoencephalograpgy (MEG) and electroencephalography (EEG) where scattering from the electromagnetic fields produced by brain’s neurons is studied for brain mapping, brain imaging as it is developed in the works of A. Fokas, G. Dassios and their co-workers [1]; locating buried objects by electromagnetic wave scattering techniques [2]. Finally, scattering theory has significant use in hyperthermia and biotelemetry, where antennas are implanted on human body [3]. To reduce the calculation of the total and scattered electrical fields into the solution of 2×2 linear systems, we combine T-Matrix and Sommerfeld’s methods. The standard procedure, as it is developed and implemented for the first time by Peter Waterman in [4] (as examples of this method we cite [5] [8]), consists in expanding the primary and secondary electrical fields, as Sommerfeld method dictates, in infinite series of spherical vector wave functions and by applying a T – Matrix method to reduce the determination of the series coefficients, into determination of the external series coefficients. In the case of multiple dipoles, the standard procedure is to determine each dipole coefficients separately and subsequently adding them to get the superposition of the total electrical field. In this thesis we modify this standard T – Matrix / Sommerfeld method in the case where the number of the dipoles is arbitrary as well as the number of the scatterer’s layers. In particular, by defining excitation operators and layer operators, we succeed in transforming the original problem in a form similar to the problem of a single dipole located in the interior of the scatterer, thus solving it in the exact same way. The advantage of this method, which we call Total Superposition Method, is that the superposition of the electrical fields (total and scattered) as well as the partial electrical fields can be calculated by implementing the standard algorithm, just one time, instead of calculating each field coefficients separately. This modification of the standard T-Matrix / Sommerfeld method, as it becomes evident in the low frequency region, leads to a much faster calculation of the electrical fields and makes easier the derivation of reciprocal formulas. Also, use of excitation operator grants the opportunity to modify the standard formulas to address certain direct and inverse scattering problems. In the 1st chapter, the basic Electromagnetic Scattering Theory is presented, from the Maxwell’s equations and the consequent vector Helmholtz P.D.E. to the basic theorems of Scattering Theory for the standard scatterer types, as well as the multilayered scatterer. In the 2nd chapter, we solve the general problem of an arbitrary number of Λ dipoles located on the z-axis of a multilayered sphere with dielectric layers. In particular, for the cases of a perfect conducting core and a dielectric core, general formulas that determine the series expansion coefficients are extracted. For this cause, we derive the dyadic Green function, which is the fundamental solution to the vector Helmholtz P.D.E. with the aid of the spherical vector wave functions, which form a complete base for the space of the solutions of the modified Helmholtz P.D.E. [7]. Through them, we derive the series expansions of the primary, scattered and total electrical fields. As a first example for the use of these expansions, we solve the direct scattering problem of two dipoles which are located in the interior of a dielectric sphere. Next, we develop and implement the Total Superposition Method, which is actually a modified version of the standard combined T – Matrix / Sommerfeld method with the use of excitation operators, which are defined as the sum of linear functionals. This method – and especially the use of excitation operators – can be used as a “theoretic model” that will simplify and facilitate the derivation of general and induction formulas in more complicated problems, where dipoles are located in an arbitrary position inside or outside the scatterer. In the 3rd chapter, we derive exact formulas that determine, the series coefficients, as well as the far field and cross – section formulas in the low frequency regime, in the case of 3-layered spherical scatterer with dielectric layers and a dielectric or perfect conducting core, when 2 dipoles are located in the scatterer’s interior. Using these results, we solve inverse scattering problems that concern locating point sources, determination of scatterer’s geometrical characteristics and determination of the scatterer’s physical parameters. Finally, in the 4th chapter, we investigate the possibility for the superposition of the total electrical fields to have equal far field with the total electrical field excited by a single dipole – which we call equivalent dipole– located in the same line, as the existing dipoles. More precisely, we derive the required equations for such an equivalent dipole for all standard cases of its positions. Next, under the low frequency assumption, we derive approximations for the position of the equivalent dipole inside a dielectric spherical scatterer, with respect to minimize the percentage of deviation between scattering cross sections of the equivalent dipole and of the total electrical field excited by the two existing dipoles inside the scatterer.
  16. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.