Φαινόμενα έκρηξης σε πεπερασμένο χρόνο για την εξίσωση Ginzburg-Landau με μιγαδικούς συντελεστές

Finite time collapse phenomena for the Ginzburg-Landau equation with complex coefficients (english)

  1. MSc thesis
  2. ΚΟΣΟΓΛΟΥ, ΙΟΡΔΑΝΗΣ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. October 2016 [2016-10]
  5. Ελληνικά
  6. 64
  7. Καραχάλιος, Νικόλαος
  8. Εξίσωση | Ginzburg | Landau | Φαινόμενα | Έκρηξης | CGLe
  9. 1
  10. 3
  11. 10
  12. Περιέχει : πίνακες, διαγράμματα , εικόνες.
    • Μια από τις πιο σημαντικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής είναι η εξίσωση Ginzburg-Landau (CGL) με μιγαδικούς συντελεστές (complex Ginzburg-Landau equation). Περιγράφει φαινόμενα της μη-γραμμικής οπτικής, της ρευστοδυναμικής και την θεωρία υπεραγωγιμότητας. Ανάλογα όμως, με το πρόσημο ορισμένων συντελεστών της εξίσωσης που σχετίζονται με την ισχύ της μη-γραμμικότητας, είναι δυνατόν οι λύσεις της εξίσωσης να εμφανίσουν φαινόμενα έκρηξης σε πεπερασμένο χρόνο. Στην παρούσα εργασία γίνεται αναλυτική μελέτη του ενδεχομένου αυτού και επιχειρείται με αριθμητικές εξομοιώσεις να μελετηθούν οι αναλυτικές προβλέψεις. Το πρόβλημα αφορά την μελέτη της εξίσωσης σε πεπερασμένο διάστημα με περιοδικές συνοριακές συνθήκες. Συγκεκριμένα στο 1ο κεφάλαιο, αναλύουμε την εμφάνιση της εξίσωσης CGLe στη διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος κατά μήκος μιας οπτικής ίνας καθώς και στην αλληλοεπίδραση μερών μιας νευρικής μεμβράνης. Στο 2ο κεφάλαιο γίνεται μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων της εξίσωσης CGL με αναλυτικές μεθόδους. Ακολουθεί αριθμητική διερεύνηση της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων, με έμφαση στην διερεύνηση φαινομένων έκρηξης. Στο 3ο κεφάλαιο μελετάμε την αστάθεια διαμόρφωσης επίπεδων κυμάτων (modulation instability) επαληθεύοντας τις αναλυτικές μεθόδους με αριθμητικές εξομοιώσεις. Τέλος, στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε τα κυριότερα βιογραφικά στοιχεία των Λεβ Λαντάου (L. Landau) και Βιτάλι Γκίνζμπουργκ (V.Ginzburg).
    • Οne of the most important equations in mathematical physics is the Ginzburg-Landau (CGL) equation with complex coefficients (complex Ginzburg-Landau equation). It describes phenomena of nonlinear optics and fluid dynamics as well as the theory of superconductivity. Nevertheless, depending on the sign of certain coefficients of the equation associated with the effect of nonlinearity, it is possible for the solutions of the equation to display collapse phenomena in finite time. In this thesis, an analytical study is carried out around this possibility and an attempt to study analytical predictions through numerical simulations. The problem has to do with the study of the equation in finite segment with periodic boundary conditions. In particular, in chapter 1, we analyze the appearance of the CGLe equation in an electromagnetic wave propagation along an optical fiber as well as in an interaction of the parts of a neural membrane. In chapter 2, there is a study of the asymptotic behavior of solutions for the CGL equation through analytical methods, followed by a numerical investigation of the asymptotic behavior of solutions with an emphasis on the investigation of collapse phenomena. In chapter 3, we focus on the modulation instability of plane waves verifying the analytical methods by numerical simulations. Finally, in Chapter 4, we present the most important biographical data of Lev Landau (L. Landau) and Vitaly Ginzburg (V.Ginzburg).
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.