Στο πρώτο μέρος της εργασίας θα παρουσιαστούν οι απαραίτητες προϋπάρχουσες μαθηματικές γνώσεις για την κατανόηση και την επίλυση του κύβου του Rubik. Αναλυτικότερα, στο κεφάλαιο 1 θα αναφερθούν κάποιοι ορισμοί σχετικά με τις συναρτήσεις και με συγκεκριμένες ιδιότητες τους, καθώς και μερικά αντιπροσωπευτικά παραδείγματα. Στο κεφάλαιο 2 θα αναλυθεί η Θεωρία Ομάδων η οποία είναι αναγκαία για την επίλυση του κύβου του Rubik. Θα οριστούν βασικές έννοιες, θα αποδειχτούν θεωρήματα, προτάσεις, Λήμματα και θα υπάρχουν τα αντίστοιχα παραδείγματα για καλύτερη κατανόηση της θεωρίας. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας θα εφαρμοσθεί στον κύβο του Rubik η Θεωρία Ομάδων. Συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 3 θα γίνει εισαγωγή και επεξήγηση του συμβολισμού σχετικά με τον κύβο του Rubik που θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια. Στο κεφάλαιο 4 θα οριστεί ο κύβος του Rubik ως αλγεβρική ομάδα, θα αποδειχθεί ότι μαζί με την αντίστοιχη πράξη αποτελεί ομάδα και θα παρουσιαστούν κάποια ενδεικτικά παραδείγματα εφαρμογής της θεωρίας ομάδων που αναφέρθηκε στο πρώτο μέρος, στον κύβο του Rubik. Στο κεφάλαιο 5 θα εισαχθεί ένας ακόμα συμβολισμός, πιο εύχρηστος, για τον κύβο του Rubik. Στο κεφάλαιο 6 θα αποδειχτεί ποιες καταστάσεις του κύβου του Rubik είναι δυνατές. Παρουσιάζονται και αποδεικνύονται τα απαραίτητα θεωρήματα, Λήμματα και προτάσεις. Τέλος, αποδεικνύουμε ότι ο κύβος του Rubik έχει λύση σε ότι κατάσταση κι αν βρίσκεται.
The first part of the dissertation will present the necessary mathematical knowledge for understanding and solving the Rubik's Cube. Chapter 1 will provide in detail some definitions of functions and their specific properties, as well as some representative examples. Chapter 2 will analyze the group theory which is necessary for solving the Rubik's Cube and the definitions of basic concepts; this chapter will also prove theorems, propositions, and lemmas with corresponding examples for a better understanding of the theory. In the second part of the disseration, group theory will be applied on the Rubik's Cube. Specifically, chapter 3 will introduce and explain the Rubik Cube's notation that will be used later. In chapter 4, the Rubik's Cube will be defined as a group; it will be shown that it constitutes a group together with the binary operation and some examples of the application of the group theory, mentioned in the first part, will be presented on the Rubik's Cube. Chapter 5 will introduce yet another, more convenient notation. Chapter 6 will prove the possible Cube configurations. The necessary theorems, lemmas, and propositions are presented and proven. Finally, it is proven that the Rubik's Cube can be solved no matter what.
Θεωρία Ομάδων και Εφαρμογή της στην Επίλυση του Κύβου του Rubik