Εφαρμογές της θεωρίας Μιγαδικής Ολοκλήρωσης

Applications of Complex Integration Theory (english)

  1. MSc thesis
  2. Φρόνιμος, Σπυρίδων
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 29 September 2019 [2019-09-29]
  5. Ελληνικά
  6. 147
  7. Τσίτσας, Νικόλαος
  8. Τσίτσας, Νικόλαος | Σεβρόγλου, Βασίλειος
  9. Μιγαδική Ολοκλήρωση | Ολοκληρωτικά Υπόλοιπα | Μιγαδική Ανάλυση | Θεωρία Cauchy | Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων | Υπολογισμός Σειρών | Διαφορικές Εξισώσεις | Ολοκληρωτικές Εξισώσεις
  10. 1
  11. 11
  12. 22
  13. Περιέχει διαγράμματα και πίνακες.
    • Η εργασία αυτή πραγματεύεται τις εφαρμογές της μιγαδικής ολοκλήρωσης και συγκεκριμένα των ολοκληρωτικών υπολοίπων του Cauchy σε προβλήματα Μαθηματικής. Στην αρχή παρουσιάζονται βασικές αρχές της μιγαδικής ανάλυσης πάνω στη θεωρία των συναρτήσεων αλλά και της μιγαδικής παραγώγισης και ολοκλήρωσης. Με βάση τη θεωρία αυτή παρουσιάζεται στη συνέχεια το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων του Cauchy καθώς και πορίσματα που μας βοηθούν στον υπολογισμό των υπολοίπων αυτών. Εν συνεχεία βλέπουμε την εφαρμογή του θεωρήματος πάνω στον υπολογισμό διαφόρων ειδών ολοκληρωμάτων κυρίως πραγματικών γενικευμένων. Οι ολοκληρωτέες συναρτήσεις είναι κυρίως ρητές και μέσω πολλών παραδειγμάτων βλέπουμε τη χρησιμότητα του θεωρήματος στην αντιμετώπιση των ιδιομορφιών που παρουσιάζονται στον υπολογισμό τέτοιων ολοκληρωμά­των. Το επόμενο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στον υπολογισμό ολοκληρωτικών μετασχηματισμών Laplace, Fourier, Hilbert και Mellin με μεθόδους που αναπτύχθηκαν στα προηγούμενα κεφά­λαια. Το επόμενο μέρος της εργασίας περιέχει υπολογισμό σειρών με τη βοήθεια των ολοκληρω­τικών υπολοίπων, συναρτήσεων που ορίζονται μέσω των όρων της εκάστοτε σειράς. Τα είδη σειρών που συναντάμε είναι σειρές με ρητούς όρους, εναλλάσσουσες σειρές, αλλά και σειρές που περιέχουν εκθετικούς παράγοντες. Γίνεται επίσης μια μελέτη πάνω σε σειρές που περιέ­χουν διωνυμικούς συντελεστές. Βλέπουμε επίσης εφαρμογές διαφόρων ειδών πάνω στη θεωρία πολυωνύμων, τον υπολογισμό άπειρων γινομένων αλλά και στον υπολογισμό όρων της ακολουθίας Fibonacci. Τέλος κλείνουμε την εργασία με μια μελέτη και παρουσίαση μεθόδων για την επίλυση τόσο συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων όσο και ολοκληρωτικών εξισώσεων. Επιλύουμε ΣΔΕ σταθερών συντελεστών, εξισώσεις τύπου Euler, προβλήματα κυματικής και θερμικής εξίσωσης αλλά και ολοκληρωτικές και ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις τύπου Voltera και Fredholm. Η επίλυση τους επιτυγχάνεται είτε με άμεση εφαρμογή του θεωρήματος των υπολοίπων είτε με χρήση ολοκληρωτικών μετασχηματισμών οι οποίοι υπολογίζονται με μεθόδους που αναπτύ­χθηκαν στο δεύτερο κεφάλαιο.
    • This master dissertation is dealing with the applications of complex integration and particularly with the theory of Cauchy residue calculus in problems of Mathematical Analysis. At the beginning we present the basic principles of complex analysis over the theory of functions as well as complex differentiation and integration. Based on this theory we present the Cauchy residue theorem along with corollaries that help us calculate these residues. We will also see how the residue theorem applies in the calculation of several types of integrals including improper real integrals. The integrable functions are mainly fractional and by many examples we see the use of the residue theorem and how it helps us deal with these types of integrals. In the next chapter we apply this theory to integral transforms such as Laplace, Fourier, Hilbert and Mellin using methods developed in the previous chapters. The next chapter is about calculating series with the use of residues, where the necessary functions are defined through the terms of the series. The type of series we will deal with are series with fractional terms, alternating series as well as series that contain exponential factors. A spacial part is dedicated to series that include binomial coefficients. We also present several types of applications over the theory of polynomials, calculation of infinite products as well as calculation of Fibonacci sequence terms. At the last chapter we present methods of solving ordinary differential equations, partial differential equations and integral equations. We deal with ordinary differential equations of constant coefficients, Euler type equations, problems of heat and wave equations along with integral and diferential-integral equations of Voltera and Fredholm type. The solution of these type of problems is achieved either with direct application of the residue theorem or through integral transforms that are being calculated with the methods we presented in the second chapter.
  15. Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές