Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

The Stone - Weierstrass Theorem (english)

  1. MSc thesis
  2. Γεωργίου, Κωνσταντίνος
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 29 September 2019 [2019-09-29]
  5. Ελληνικά
  6. 55
  7. Ανούσης, Μιχάλης
  8. Ανούσης, Μιχάλης | Πουλάκης, Δημήτριος
  9. Συμπαγής χώρος , Compact space | Συνεχείς συναρτήσεις, Continuous functions | Ομοιόμορφη σύγκλιση, Uniform Convergence | Μεταθετική Άλγεβρα, Commutative Algebra | Θεώρημα Stone-Weierstrass, Stone-Weierstrass theorem | Προσέγγιση, Approximation
  10. 6
  11. 4
  12. Περιέχει: σχήματα, εικόνες
    • Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του προγράμματος <<Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά>> της Σχολής Θετικών Επιστημών & Τεχνολογίας του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου. Σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη του θεωρήματος Stone - Weierstrass, ενός πολύ σημαντικού θεωρήματος της Ανάλυσης. Αποτελεί γενίκευση του κλασσικού θεωρήματος προσέγγισης του Weierstrass, σύμφωνα με το οποίο κάθε συνεχής πραγματική συνάρτηση στο [α, β] προσεγγίζεται ομοιόμορφα από πολυώνυμα. Στο θεώρημα Stone-Weierstrass, ο χώρος [α, β] αντικαθίσταται με έναν οποιοδήποτε συμπαγή χώρο X και η οικογένεια των πολυωνύμων με μία οποιαδήποτε υποάλγεβρα του C(X), που διαχωρίζει τα σημεία του X και δεν μηδενίζεται σε κανένα σημείο του X. Η εργασία απαρτίζεται από τέσσερα κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο είναι εισαγωγικό και σ' αυτό παρουσιάζονται βασικές έννοιες της Πραγματικής Ανάλυσης, απαραίτητες για την ολοκλήρωση της εργασίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της σημειακής αλλά και της ομοιόμορφης σύγκλισης μιας ακολουθίας συναρτήσεων, στα πλαίσια των μετρικών χώρων. Η μελέτη μας εστιάζεται στις συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις που ορίζονται σε έναν συμπαγή μετρικό χώρο (X,d). Διατυπώνεται και αποδεικνύεται το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass. Στο τρίτο κεφάλαιο διατυπώνεται και αποδεικνύεται το θεώρημα Stone - Weierstrass. Στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας παρατίθενται κάποιες από τις εφαρμογές του εν λόγω θεωρήματος.
    • This diploma thesis has been prepared within the framework to the program of Post graduate Studies in Mathematics of the Science and Technology Department of Hellenic Open University. The purpose of this thesis is the study of the Stone-Weierstrass theorem, a very important theorem of Analysis. This theorem is generalization of the classical Weierstrass approximation theorem, according to which any continuous, real-valued function in [a, b] is approximated uniformly by polynomials. In the Stone-Weierstrass theorem, the space [a, b] is replaced with any compact space X and the collection of polynomials with any subalgebra of C(X), which separates points in X and vanishes at no point of X. The thesis is composed of four chapters. The first chapter is introductory and in it the fundamental concepts of Real Analysis are presented, which are necessary to complete this thesis. In the second chapter the concepts of pointwise and uniform convergence of a sequence of functions on a metric space are introduced. The present study focuses on continuous, real-valued functions on a compact metric space (X,d). Weierstrass approximation theorem is stated and proved. In the third chapter the Stone-Weierstrass theorem is stated and proved. In the last chapter of this thesis some applications of this theorem are presented.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.