Οικονόμου , Ε.Ν. (2000). Από τα άτομα στα στερεά: Μέταλλα-Ημιαγωγοί. Πάτρα: Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο
Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να περιγράψει τη διάδοση των ηλεκτρονίων στον μονοδιάστατο αγωγό. Τα νανοσύρματα έχουν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες που οφείλονται στο γεγονός ότι τα ηλεκτρόνια σε αυτά είναι κβαντικά περιορισμένα και κινούνται στη μια διάσταση .
Θα μελετηθούν τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά αυτού του κβαντικού περιορισμού που επιδεικνύουν τα νανοσύρματα καθώς εκδηλώνονται σε διακεκριμένες τιμές της ηλεκτρικής αγωγιμότητας.
Διάφοροι φυσικοί λόγοι προβλέπουν ότι η αγωγιμότητα ενός νανοσύρματος θα είναι πολύ μικρότερη από εκείνη του αντίστοιχου 3-D υλικού. Πρώτον, υπάρχει σκέδαση από τα όρια του καλωδίου, το αποτέλεσμα του οποίου είναι πολύ σημαντικό όταν το πλάτος του σύρματος είναι μικρότερο από την μέση ελεύθερη διαδρομή του ελεύθερου ηλεκτρονίου του υλικού. Δεύτερον, η αγωγιμότητα επηρεάζεται έντονα από τα φαινόμενα των άκρων. Αυτά προέρχονται από άτομα που βρίσκονται στην επιφάνεια του νανοσύρματος και δεν είναι πλήρως συνδεδεμένα με γειτονικά άτομα . Τα μη συνδεδεμένα άτομα συχνά αποτελούν πηγή σφαλμάτων εντός του νανοσύρματος και μπορεί να προκαλέσουν ελάττωση στην ηλεκτρική αγωγιμότητα σε σχέση με το 3-D υλικό. Δεδομένου ότι το νανοσύρμα συρρικνώνεται σε μέγεθος, τα άτομα επιφάνειας γίνονται πιο πολυάριθμα σε σύγκριση με τα άτομα εντός του και τα φαινόμενα των άκρων γίνονται πιο σημαντικά. Επιπλέον, η αγωγιμότητα εμφανίζεται κβαντισμένη: δηλαδή η αγωγιμότητα μπορεί να λάβει μόνο διακριτές τιμές, οι οποίες είναι πολλαπλάσια του κβάντου αγωγιμότητας G=2e^2/h .
Η αγωγιμότητα επομένως περιγράφεται ως το άθροισμα της μεταφοράς φορτίου μέσω διακριτών καναλιών κβαντισμένων ενεργειακών σταθμών. Όσο λεπτότερο είναι το σύρμα, τόσο μικρότερος είναι ο αριθμός των διαθέσιμων καναλιών μεταφοράς ηλεκτρονίων.
H εργασία έχει χωρισθεί σε τρία κεφάλαια στα οποία αναπτύσσονται οι επικρατέστερες θεωρίες μετάδοσης στα μεσοσκοπικά συστήματα ή αλλιώς στα συστήματα πολύ μικρών διαστάσεων. Διαστάσεις που κυμαίνονται από την ατομική κλίμακα μέχρι μερικά μικρόμετρα. Στις διαστάσεις αυτές τα κβαντικά φαινόμενα είναι κυρίαρχα.
Στο πρώτο κεφάλαιο μελετούμε την βαλλιστική διάδοση των ηλεκτρονίων δια μέσω στένωσης ή αλλιώς μιας κβαντικής σημειακής επαφής και βρίσκουμε πως η αγωγιμότητα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του κβάντου αγωγιμότητας επί των αριθμό των διαθέσιμων καναλιών. Βαλλιστική διάδοση σημαίνει πως η θερμοκρασία είναι πολύ χαμηλή , δεν έχουμε σκεδάσεις και οι καταστάσεις είναι στάσιμες.
Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζουμε την διάδοση στο νανοσύρμα όταν υπάρχει μια πρόσμιξη. Χρησιμοποιούμε τη θεωρία σκέδασης από ορθογώνιο φράγμα δυναμικού με την εξής παραδοχή: πως το απαραίτητο για τη δημιουργία ρεύματος εξωτερικό δυναμικό , επηρεάζει ελάχιστα το φράγμα δυναμικού. Με την υπόθεση αυτή πως το δυναμικό του σκεδαστή θεωρείται αδιατάρακτο (θεωρία της γραμμικής απόκρισης) και πως οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές οδηγούμαστε στη σχέση Landauer για τη αγωγιμότητα η οποία είναι τώρα γινόμενο του κβάντου αγωγιμότητας και του συντελεστή διάδοσης. Αν το φράγμα δυναμικού έχει τυχαία μορφή το προσεγγίζουμε με ορθογώνια βήματα δυναμικού κατασκευάζοντας έτσι ένα αλγόριθμο για τον υπολογισμό του πίνακα σκέδασης. Γενικεύουμε τη μελέτη μας περιγράφοντας ένα μεσοσκοπικό δείγμα συνδεδεμένο μέσω αγωγών με πολλές δεξαμενές ηλεκτρονίων. Αυτή είναι η θεωρία Landauer-Büttiker η οποία στηρίζεται στις εξής παραδοχές: οι αγωγοί θεωρούνται ημι-άπειροι , με ανεξαρτησία αντιστροφής του ρεύματος ως προς τη διεύθυνση διάδοσης. Είναι αγωγοί πεπερασμένου πλάτους ως προς την εγκάρσια κατεύθυνση και δίνουν κβαντικές εγκάρσιες καταστάσεις. Στις επαφές αγωγών και δεξαμενών δεν υπάρχει ανάκλαση. Τώρα η αγωγιμότητα γίνεται γινόμενο του κβάντου αγωγιμότητας και αθροίσματος ολοκληρωμάτων πάνω στους διάφορους τρόπους σκέδασης.
Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο εξετάζουμε την θεωρία της γραμμικής απόκρισης σε συνδυασμό με χρονικά εξαρτημένη διαταραχή. Πρόκειται για τον φορμαλισμό Kubo που βρίσκει εφαρμογή στον υπολογισμό της επιδεκτικότητας φορτίου ή σπιν λόγω της επίδρασης εξωτερικού ηλεκτρικού ή μαγνητικού πεδίου. Στη συνέχεια περιγράφουμε τη σύζευξη σπιν-τροχιάς η οποία καταστρέφει τον εκφυλισμό του σπιν των ενεργειακών σταθμών και ανάλογα με την ύπαρξη ή μη εξωτερικού μαγνητικού πεδίου μεταβάλλει ή όχι την αγωγιμότητα του συστήματος. Τέλος κλείνουμε το κεφάλαιο με την εξίσωση Lippmann-Schwinger που ενσωματώνει την συνάρτηση Green και ασυμπτωτικές συνοριακές συνθήκες του συστήματος. Μας δίνει ολοκληρωτικές σχέσεις για τον υπολογισμό των συντελεστών ανάκλασης και μετάδοσης
The purpose of this thesis is to describe the propagation of electrons in the one-dimensional conductor. Nanowires have many interesting properties since the electrons in them are quantum limited and move in one dimension.
The characteristics of this quantum constraint displayed by nanowires as manifested at distinct values of electrical conductivity will be studied.
Various physical reasons predict that the conductivity of a nanowire will be much lower than that of the corresponding 3-D material. First, there is scattering from the boundaries of the cable, the effect of which is important when the width of the wire is less than the average free path of the free electron of the material. Second, the conductivity is strongly influenced by the effects of the limbs. These come from atoms who are on the surface of the nanowire and are not fully connected to neighboring atoms. Unconnected particles are often the source of errors within the nanowire and may cause a reduction in electrical conductivity relative to the 3-D material. As the nanowire shrinks in size, the surface atoms become more numerous compared to the atoms within it and the edge effects become more significant. In addition, the conductivity appears quantized: that is, the conductivity can take only discrete values, which are multiples of the conductivity quantum G=2e^2/h.
Conductivity is therefore described as the sum of the charge transfer through discrete channels of quantized states of energy. The thinner the wire, the smaller the number of available electron transfer channels.
The thesis is divided into three chapters in which the most prevalent theories of transmission are developed in mesoscopic systems or low dimensional systems. Dimensions ranging from the atomic scale to a few micrometers. In these dimensions’ quantum phenomena are predominant.
In the first chapter we study the ballistic transport of electrons through narrow channel or a quantum point contact and find that the conductivity is a product of the conductivity quantum and the number of available channels. The assumptions for the ballistic transport are the low temperature, no scattering phenomena and stationary states.
In the second chapter we examine the propagation in nanowire when there is an impurity. We use the scattering theory of a rectangular potential barrier with the following assumption: that the external potential necessary to generate current has little effect on the potential barrier. With this assumption that the scattering potential is considered unperturbed (linear response theory) and that scattering are considered elastic we are led to the Landauer relation for conductivity which is now a product of the conductivity quantum and the transmission coefficient. If the potential barrier has a random shape, we approach it with rectangular potential steps, thus constructing an algorithm for the calculation of the scattering matrix. We generalize our study by describing a mesoscopic sample connected by leads with multiple electron reservoirs. This is the Landauer-Büttiker theory which is based on the following assumptions: conductors are considered semi-infinite, and translationally invariant in the charge propagation direction. The leads have finite width in the transverse direction that causes quantized transverse modes. The contacts between leads and reservoirs are considered to be reflectionless so that electrons coming from the leads can enter the reservoir without suffering reflections and are thermalized before being re-emitted. Conductivity now becomes a product of the quantum conductivity and sum of integrals on the various scattering modes.
In the third chapter we examine the theory of linear response in combination with time-dependent perturbation theory. This is the Kubo formalism that finds application in the calculation of charge or spin susceptibility due to the effect of an external electric or magnetic field. Next, we describe the spin-orbit coupling which destroys the degeneracy of the spin of energy levels and depending on the presence or absence of an external magnetic field changes or not the conductivity of the system. We close the chapter with the Lippmann-Schwinger equation that incorporates the Green function and asymptotic boundary conditions of the system. It provides integral relations for the calculation of the reflection and transmission coefficients.
Η αγωγιμότητα στα μονοδιάστατα νανοσύρματα