Συμπλεκτική Γεωμετρία και Χαμιλτονιανή Μηχανική

Symplectic Geometry and Hamiltonian Mechanics (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Μπούμης, Θεοφάνης
  3. Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική (ΠΣΦ)
  4. 20 Σεπτεμβρίου 2020 [2020-09-20]
  5. Ελληνικά
  6. 49
  7. Ζούπας, Ανδρέας
  8. Συμπλεκτική Γεωμετρία | Διαφορικές Μορφές | Συμπλεκτομορφισμοί | Χαμιλτονιανό Διανυσματικό Πεδίο | Απεικόνιση Ορμής
  9. 12
  10. 2 Σχήματα
    • H Συμπλεκτική Γεωμετρία αποτελεί κλάδο της Τοπολογίας και της Διαφορικής Γεωμετρίας. Σκοπός της είναι η μελέτη των Συμπλεκτικών Πολλαπλοτήτων, των διαφορίσιμων δηλαδή εκείνων πολλαπλοτήτων που είναι εφοδιασμένες με μια κλειστή μη εκφυλισμένη 2-μορφή.Οι συμπλεκτικές πολλαπλότητες αποτελούν το φυσικό πλαίσιο της Μηχανικής αφού ο χώρος των φάσεων αποτελεί την συνεφαπτόμενη δέσμη του θεσεογραφικού χώρου και είναι εφοδιασμένος με μια συμπλεκτική μορφή. Για κάθε Χαμιλτονιανή συνάρτηση σε μια συμπλεκτική πολλαπλότητα ορίζεται ένα διανυσματικό πεδίο του οποίου οι ολοκληρωτικές καμπύλες αποτελούν λύσεις των εξισώσεων Χάμιλτον. Οι μετασχηματισμοί που αφήνουν αναλλοίωτη τη μορφή των εξισώσεων Χάμιλτον, και στη Φυσική αποκαλούνται Κανονικοί Μετασχηματισμοί, είναι στην ουσία διαφορομορφισμοί της συμπλεκτικής πολλαπλότητας. Η συμπλεκτική μορφή διατηρείται από τη ροή του Χαμιλτονιανού πεδίου (θεώρημα Liouville). Η Συμπλεκτική Γεωμετρία, λοιπόν, αποτελεί τη Γεωμετρία του χώρου των φάσεων, είναι δηλαδή το γεωμετρικό υπόβαθρο της Χαμιλτονιανής Μηχανικής. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να παρουσιάσει τις βασικές έννοιες της Συμπλεκτικής Γεωμετρίας και να εκφράσει με τη βοήθεια τους γνωστά θεωρήματα της Μηχανικής όπως το θεώρημα του Liouville, της Νoether και το θεώρημα των Arnold-Liouville.
    • Symplectic Geometry is a branch of Differential Geometry and it studies the properties of symplectic manifolds. A symplectic manifold is a differentiable manifold equipped with a non- degenerate closed 2-form. Symplectic manifolds are the natural place to do Hamiltonian mechanics since the phase space of a mechanical system is the cotangent bundle of the configuration space. Any smooth real valued function H, called Hamiltonian, can induce a vector field on the symplectic manifold. This vector field is called Hamiltonian vector field. The integral lines of this vector field represent solutions of Hamilton's equations and the diffeomorphisms arising from the flow of the vector field are called symplectomorphisms. Those symplectomorphisms are known in Physics as canonical transformations, changes of coordinates that preserve the form of Hamilton's equations. The symplectic form is preserved by the Hamiltonian flow (Liouville's theorem). Symplectic Geometry is the geometry of phase space, the geometric background for Hamiltonian Mechanics. Our purpose was to present an introduction to Symplectic Geometry and its notions and to state basic theorems of Classical Mechanics like Liouville's, Noether' s and Arnold-Liouville's theorems in symplectic language
  12. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.